Rt△ABC與Rt△FED是兩塊全等的含30°、60°角的三角板，按如圖（一）所示拼在一起，CB與DE重合．
（1）求證：四邊形ABFC為平行四邊形；
（2）取BC中點O，將△ABC繞點O順時鐘方向旋轉(zhuǎn)到如圖（二）中△A′B′C′位置，直線B'C'與AB、CF分別相交于P、Q兩點，猜想OQ、OP長度的大小關(guān)系，并證明你的猜想；
（3）在（2）的條件下，指出當旋轉(zhuǎn)角至少為多少度時，四邊形PCQB為菱形？（不要求證明）

【答案】分析：（1）已知△ABC≌△FCB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知AB=CF，AC=BF，根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)已知利用AAS判定△COQ≌△BOP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到OP=OQ．
（3）根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形的菱形進行分析即可．
解答：（1）證明：∵△ABC≌△FCB，（1分）
∴AB=CF，AC=BF．（2分）
∴四邊形ABFC為平行四邊形．（3分）
（用其它判定方法也可）

（2）解：OP=OQ，（4分）
理由如下：∵OC=OB，∠COQ=∠BOP，∠OCQ=∠PBO，
∴△COQ≌△BOP．（6分）
∴OQ=OP．（7分）
（用平行四邊形對稱性證明也可）

（3）解：90°．
理由：∵OP=OQ，OC=OB，
∴四邊形PCQB為平行四邊形，
∵BC⊥PQ，
∴四邊形PCQB為菱形．（8分）
點評：此題考查學(xué)生對平行四邊形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定，菱形的判定等知識的綜合運用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知：RT△ABC與RT△DEF中，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，EF=8cm，AC=16cm，BC=12cm．現(xiàn)將RT△ABC和RT△DEF按圖1的方式擺放，使點C與點E重合，點B、C（E）、F在同一條直線上，并按如下方式運動．
運動一：如圖2，△ABC從圖1的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿EF方向向右勻速運動，DE與AC相交于點Q，當點Q與點D重合時暫停運動；
運動二：在運動一的基礎(chǔ)上，如圖3，RT△ABC繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)，CA與DF交于點Q，CB與DE交于點P，此時點Q在DF上勻速運動，速度為
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cm/s，當QC⊥DF時暫停旋轉(zhuǎn)；
運動三：在運動二的基礎(chǔ)上，如圖4，RT△ABC以1cm/s的速度沿EF向終點F勻速運動，直到點C與點F重合時為止．
設(shè)運動時間為t（s），中間的暫停不計時，
解答下列問題
（1）在RT△ABC從運動一到最后運動三結(jié)束時，整個過程共耗時
 
s；
（2）在整個運動過程中，設(shè)RT△ABC與RT△DEF的重疊部分的面積為S（cm2），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；
（3）在整個運動過程中，是否存在某一時刻，點Q正好在線段AB的中垂線上，若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2013年重慶市中考數(shù)學(xué)模擬試卷（十）（解析版） 題型：解答題

已知：RT△ABC與RT△DEF中，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，EF=8cm，AC=16cm，BC=12cm．現(xiàn)將RT△ABC和RT△DEF按圖1的方式擺放，使點C與點E重合，點B、C（E）、F在同一條直線上，并按如下方式運動．
運動一：如圖2，△ABC從圖1的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿EF方向向右勻速運動，DE與AC相交于點Q，當點Q與點D重合時暫停運動；
運動二：在運動一的基礎(chǔ)上，如圖3，RT△ABC繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)，CA與DF交于點Q，CB與DE交于點P，此時點Q在DF上勻速運動，速度為，當QC⊥DF時暫停旋轉(zhuǎn)；
運動三：在運動二的基礎(chǔ)上，如圖4，RT△ABC以1cm/s的速度沿EF向終點F勻速運動，直到點C與點F重合時為止．
設(shè)運動時間為t（s），中間的暫停不計時，
解答下列問題
（1）在RT△ABC從運動一到最后運動三結(jié)束時，整個過程共耗時______s；
（2）在整個運動過程中，設(shè)RT△ABC與RT△DEF的重疊部分的面積為S（cm2），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；
（3）在整個運動過程中，是否存在某一時刻，點Q正好在線段AB的中垂線上，若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2012年重慶市萬州二中中考數(shù)學(xué)二模試卷（解析版） 題型：解答題

已知：RT△ABC與RT△DEF中，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，EF=8cm，AC=16cm，BC=12cm．現(xiàn)將RT△ABC和RT△DEF按圖1的方式擺放，使點C與點E重合，點B、C（E）、F在同一條直線上，并按如下方式運動．
運動一：如圖2，△ABC從圖1的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿EF方向向右勻速運動，DE與AC相交于點Q，當點Q與點D重合時暫停運動；
運動二：在運動一的基礎(chǔ)上，如圖3，RT△ABC繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)，CA與DF交于點Q，CB與DE交于點P，此時點Q在DF上勻速運動，速度為，當QC⊥DF時暫停旋轉(zhuǎn)；
運動三：在運動二的基礎(chǔ)上，如圖4，RT△ABC以1cm/s的速度沿EF向終點F勻速運動，直到點C與點F重合時為止．
設(shè)運動時間為t（s），中間的暫停不計時，
解答下列問題
（1）在RT△ABC從運動一到最后運動三結(jié)束時，整個過程共耗時______s；
（2）在整個運動過程中，設(shè)RT△ABC與RT△DEF的重疊部分的面積為S（cm2），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；
（3）在整個運動過程中，是否存在某一時刻，點Q正好在線段AB的中垂線上，若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2012年重慶市中考數(shù)學(xué)模擬試卷（五）（解析版） 題型：解答題

已知：RT△ABC與RT△DEF中，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，EF=8cm，AC=16cm，BC=12cm．現(xiàn)將RT△ABC和RT△DEF按圖1的方式擺放，使點C與點E重合，點B、C（E）、F在同一條直線上，并按如下方式運動．
運動一：如圖2，△ABC從圖1的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿EF方向向右勻速運動，DE與AC相交于點Q，當點Q與點D重合時暫停運動；
運動二：在運動一的基礎(chǔ)上，如圖3，RT△ABC繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)，CA與DF交于點Q，CB與DE交于點P，此時點Q在DF上勻速運動，速度為，當QC⊥DF時暫停旋轉(zhuǎn)；
運動三：在運動二的基礎(chǔ)上，如圖4，RT△ABC以1cm/s的速度沿EF向終點F勻速運動，直到點C與點F重合時為止．
設(shè)運動時間為t（s），中間的暫停不計時，
解答下列問題
（1）在RT△ABC從運動一到最后運動三結(jié)束時，整個過程共耗時______s；
（2）在整個運動過程中，設(shè)RT△ABC與RT△DEF的重疊部分的面積為S（cm2），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；
（3）在整個運動過程中，是否存在某一時刻，點Q正好在線段AB的中垂線上，若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2011年重慶市南開中學(xué)中考數(shù)學(xué)模擬試卷（解析版） 題型：解答題

已知：RT△ABC與RT△DEF中，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，EF=8cm，AC=16cm，BC=12cm．現(xiàn)將RT△ABC和RT△DEF按圖1的方式擺放，使點C與點E重合，點B、C（E）、F在同一條直線上，并按如下方式運動．
運動一：如圖2，△ABC從圖1的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿EF方向向右勻速運動，DE與AC相交于點Q，當點Q與點D重合時暫停運動；
運動二：在運動一的基礎(chǔ)上，如圖3，RT△ABC繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)，CA與DF交于點Q，CB與DE交于點P，此時點Q在DF上勻速運動，速度為，當QC⊥DF時暫停旋轉(zhuǎn)；
運動三：在運動二的基礎(chǔ)上，如圖4，RT△ABC以1cm/s的速度沿EF向終點F勻速運動，直到點C與點F重合時為止．
設(shè)運動時間為t（s），中間的暫停不計時，
解答下列問題
（1）在RT△ABC從運動一到最后運動三結(jié)束時，整個過程共耗時______s；
（2）在整個運動過程中，設(shè)RT△ABC與RT△DEF的重疊部分的面積為S（cm2），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；
（3）在整個運動過程中，是否存在某一時刻，點Q正好在線段AB的中垂線上，若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

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