Question

如圖,拋物線y=ax²+bx+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），對(duì)稱軸為直線x=﹣2．

（1）求拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)D是拋物線與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線上的另一點(diǎn)．若以AB為一底邊的梯形ABCD的面積為9．

求此拋物線的解析式，并指出頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)P是（2）中拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，且以1個(gè)單位/秒的速度從此拋物線的頂點(diǎn)E向上運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

①當(dāng)t為　  　秒時(shí)，△PAD的周長(zhǎng)最小？當(dāng)t為      秒時(shí)，△PAD是以AD為腰的等腰三角形？（結(jié)果保留根號(hào)）

②點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在一點(diǎn)P，使△PAD是以AD為斜邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1） B（﹣3，0）；

（2）y=x²+4x+3化為頂點(diǎn)式為y=（x+2）²﹣1，得E（﹣2，﹣1）；

（3）①2；4或4﹣或4+;  ②存在一點(diǎn)P，使△PAD是以AD為斜邊的直角三角形, P（﹣2，1）或（﹣2，2）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱性可得拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）先根據(jù)梯形ABCD的面積為9，可求c的值，再運(yùn)用待定系數(shù)法可求拋物線的解析式，轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式可求頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）①根據(jù)軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪�問(wèn)題的求法可得△PAD的周長(zhǎng)最小時(shí)t的值；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可分三種情況求得△PAD是以AD為腰的等腰三角形時(shí)t的值；

②先證明△APN∽△PDM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得PN的值，從而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．

試題解析：（1）由拋物線的軸對(duì)稱性及A（﹣1，0），可得B（﹣3，0）；

（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交CD于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N，

由題意可知AB∥CD，由拋物線的軸對(duì)稱性可得CD=2DM．

∵M(jìn)N∥y軸，AB∥CD，

∴四邊形ODMN是矩形．

∴DM=ON=2，

∴CD=2×2=4．

∵A（﹣1，0），B（﹣3，0），

∴AB=2，

∵梯形ABCD的面積=（AB+CD）•OD=9，

∴OD=3，即c=3．

∴把A（﹣1，0），B（﹣3，0）代入y=ax²+bx+3得，

解得．

∴y=x²+4x+3．

將y=x²+4x+3化為頂點(diǎn)式為y=（x+2）²﹣1，得E（﹣2，﹣1）；

（3）①當(dāng)t為2秒時(shí)，△PAD的周長(zhǎng)最��；當(dāng)t為4或4﹣或4+秒時(shí)，△PAD是以AD為腰的等腰三角形．

故答案為：2；4或4﹣或4+．

②存在．

∵∠APD=90°，∠PMD=∠PNA=90°，

∴∠DPM+∠APN=90°，∠DPM+∠PDM=90°，

∴∠PDM=∠APN，

∵∠PMD=∠ANP，

∴△APN∽△PDM，

∴，

∴，

∴PN²﹣3PN+2=0，

∴PN=1或PN=2．

∴P（﹣2，1）或（﹣2，2）．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．