如圖，已知P為定角O的角平分線上的定點，過O、P兩點任作一圓與角的兩邊分別交于A、B兩點．
求證：OA+OB是定值．

證明：連接AP、BP，由于它們?yōu)橛邢嗤瑘A周角的弦，
∴AP=PB，
不妨記為r．另記x1=OA，x2=OB．
對△POA應用余弦定理，
得x12+OP2-2OP•cos∠AOP•x1=r2．
故x1為方程x2-2OP•cos∠AOB•x+（OP2-r2）=0的根，
同理x2亦為其根．
因此x1，x2為此方程的兩根，由韋達定理，
得x1+x2=2OP是定值．
分析：先連接AP、BP，由于它們?yōu)橛邢嗤瑘A周角的弦，∴AP=PB，對△POA應用余弦定理，再根據(jù)根與系數(shù)的關系即可證明．
點評：本題考查了根與系數(shù)的關系及圓周角定理，難度適中，關鍵是根據(jù)余弦定理構造方程，然后根據(jù)根與系數(shù)的關系進行證明．
練習冊系列答案
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精英家教網如圖，已知P為定角O的角平分線上的定點，過O、P兩點任作一圓與角的兩邊分別交于A、B兩點．
求證：OA+OB是定值．

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22、如圖：已知P為⊙O直徑AB上任意一點，弦CD過P且與AB交成45°角．求證：PC2+PD2為定值．

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如圖：已知在平面直角坐標系中點A（a，b）點B（a，0），且滿足|2a-b|+（a-4）2=0．
（1）求點A、點B的坐標．
（2）已知點C（0，b），點P從B點出發(fā)沿x軸負方向以1個單位每秒的速度移動．同時點Q從C點出發(fā)，沿y軸負方向以2個單位每秒的速度移動，某一時刻，如圖所示且S陰=
1
2
S四邊形OCAB，求點P移動的時間？
（3）在（2）的條件下，AQ交x軸于M，作∠ACO，∠AMB的角平分線交于點N，判斷
∠N-∠APB-∠PAQ
∠AQC
是否為定值，若是定值求其值；若不是定值，說明理由．

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如圖：已知P為⊙O直徑AB上任意一點，弦CD過P且與AB交成45°角．求證：PC2+PD2為定值．

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