Question

已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，以AB上一點O為圓心，AD為弦作⊙O．
（1）在圖中作出⊙O；（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）求證：BC是⊙O切線；
（3）若AC=3，AB=5，求⊙O的半徑長．

Answer 1

分析：（1）如圖，作AD的中垂線l，直線l與線段AB的交點即為圓心O．以OA為半徑、O為圓心作圓O．
（2）連接OD．欲證BC是⊙O切線，只需證明OD⊥BC即可．
（3）設圓O的半徑為r．通過∠B的正弦的定義來求⊙O的半徑．

解答：解：（1）如圖所示．

（2）連接OD；
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC；
又∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠ODA=∠DAC，
∴OD∥AC，
∴∠ODB=∠C=90°．
又OD是⊙O的半徑，
∴BC為⊙O的切線．

（3）設圓O的半徑為r．
∵AC=3，AB=5，
∴sinB=

AC

AB

=

OD

OB

=

r

AB-r

，即

3

5

=

r

5-r

，
解得r=

15

8

，即⊙O的半徑長是

15

8

．

點評：本題考查了學生的運用基本作圖的知識作復雜圖的能力，以及切線的判定等知識點．本題中作圖的理論依據(jù)是垂徑定理．