Question

對于關(guān)于x的方程x²+（2m-1）x+4-2m=0，求滿足下列條件的m的取值范圍，
（1）兩個正根；
（2）有兩個負(fù)根；
（3）兩個根都小于-1；
（4）兩個根都大于

1

2

；
（5）一個根大于2，一個根小于2；
（6）兩個根都在（0，2）內(nèi)；
（7）兩個根有且僅有一個在（0，2）內(nèi)；
（8）一個根在（-2，0）內(nèi)，另一個根在（1，3）內(nèi)；
（9）一個正根，一個負(fù)根且正根絕對值較大；
（10）一個根小于2，一個根大于4．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程根的分布,根的判別式,解一元一次不等式組,拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：數(shù)形結(jié)合

分析：先運(yùn)用根的判別式求出原方程有兩實(shí)數(shù)根時m的范圍，然后設(shè)f（x）=x²+（2m-1）x+4-2m，則該二次函數(shù)的對稱軸為x=-

2m-1

2×1

=-m+

1

2

，且該二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于方程x²+（2m-1）x+4-2m=0的根．然后結(jié)合二次函數(shù)的圖象建立關(guān)于m的不等式組，就可求出滿足條件的m的取值范圍．

解答：解：若原方程有兩實(shí)數(shù)根，則（2m-1）²-4×1×（4-2m）≥0，
整理得：4m²+4m-15≥0，
即（2m+5）（2m-3）≥0，
解得：m≥

3

2

或m≤-

5

2

．
設(shè)f（x）=x²+（2m-1）x+4-2m，
則該二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為x=-

2m-1

2×1

=-m+

1

2

，
且該二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于方程x²+（2m-1）x+4-2m=0的根．
（1）若方程兩個正根，如圖1，

結(jié)合圖象可得：

4-2m＞0 -m+ 1 2 ＞0

，
解得：m＜

1

2

，
∵m≥

3

2

或m≤-

5

2

，
∴m≤-

5

2

．

（2）若方程有兩個負(fù)根，如圖2，

結(jié)合圖象可得：

4-2m＞0 -m+ 1 2 ＜0

，
解得：

1

2

＜m＜2，
∵m≥

3

2

或m≤-

5

2

，
∴

3

2

≤m＜2．

（3）若方程兩個根都小于-1，如圖3，

結(jié)合圖象可得：

-m+ 1 2 ＜-1 f(-1)=1-(2m-1)+4-2m＞0

，
該不等式組無解．

（4）若方程兩個根都大于

1

2

，如圖4，

結(jié)合圖象可得：

-m+ 1 2 ＞ 1 2 f( 1 2 )= 1 4 + 1 2 (2m-1)+4-2m＞0

，
解得：m＜0．
∵m≥

3

2

或m≤-

5

2

，
∴m≤-

5

2

．

（5）若方程一個根大于2，一個根小于2，如圖5，

結(jié)合圖象可得：f（2）=4+2（2m-1）+4-2m=2m+6＜0，
解得：m＜-3．
∵m≥

3

2

，或m≤-

5

2

，
∴m＜-3．

（6）若方程兩個根都在（0，2）內(nèi)，如圖6，

結(jié)合圖象可得：

0＜-m+ 1 2 ＜2 f(0)=4-2m＞0 f(2)=4+2(2m-1)+4-2m＞0

，
解得：-

3

2

＜m＜

1

2

．
∵m≥

3

2

或m≤-

5

2

，
∴m不存在．

（7）若方程兩個根有且僅有一個在（0，2）內(nèi)，如圖7，

結(jié)合圖象可得：f（0）•f（2）＜0，
∴（4-2m）（2m+6）＜0，
即（2m-4）（2m+6）＞0，
解得：m＞2或m＜-3．
∵m≥

3

2

或m≤-

5

2

，
∴m＞2或m＜-3．

（8）若方程一個根在（-2，0）內(nèi)，另一個根在（1，3）內(nèi)，如圖8，

結(jié)合圖象可得：

f(2)＞0 f(0)＜0 f(1)＜0 f(3)＞0

，
即

10-6m＞0 4-2m＜0 4＜0 4m+10＞0

，
不等式組無解．

（9）若方程一個正根，一個負(fù)根且正根絕對值較大，如圖9，

結(jié)合圖象可得：

-m+ 1 2 ＞0 4-2m＜0

，
不等式組無解．

（10）若方程一個根小于2，一個根大于4，如圖10，

結(jié)合圖象可得：

f(2)＜0 f(4)＜0

，
即

2m+6＜0 6m+16＜0

，
解得：m＜-3．
∵m≥

3

2

或m≤-

5

2

，
∴m＜-3．

點(diǎn)評：本題考查了根的判別式、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、解不等式組等知識，其中對解不等式組的要求比較高，而運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想則是解決本題的關(guān)鍵．