Question

【題目】如圖，P為∠AOB內(nèi)一定點(diǎn)，M、N分別是射線OA、OB上一點(diǎn)，當(dāng)△PMN周長(zhǎng)最小時(shí)，∠OPM=50°，則∠AOB=（ ）

A.40°
B.45°
C.50°
D.55°

Answer 1

【答案】A
【解析】解：作P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)P1 ， P2 ． 連接OP1 ， OP2 ． 則當(dāng)M，N是P1P2與OA，OB的交點(diǎn)時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)最短，連接P1O、P2O，
∵PP1關(guān)于OA對(duì)稱，
∴∠P1OP=2∠MOP，OP1=OP，P1M=PM，∠OP1M=∠OPM=50°
同理，∠P2OP=2∠NOP，OP=OP2 ，
∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2（∠MOP+∠NOP）=2∠AOB，OP1=OP2=OP，
∴△P1OP2是等腰三角形．
∴∠OP2N=∠OP1M=50°，
∴∠P1OP2=180°﹣2×50°=80°，
∴∠AOB=40°，
故選A．

【考點(diǎn)精析】掌握軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題是解答本題的根本，需要知道已知起點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；與確定起點(diǎn)相反，已知終點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；已知起點(diǎn)和終點(diǎn)，求兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑．