Question

如圖，Rt△ABO在直角坐標(biāo)系中，∠ABO=90°，點(diǎn)A（-25，0），∠A的正切值為

4

3

，直線AB與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）將△ABO繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在x軸正半軸上的B′處．試在直角坐標(biāo)系中畫出旋轉(zhuǎn)后的△A′B′O，并寫出點(diǎn)A′的坐標(biāo)；
（3）在直線OA′上是否存在點(diǎn)D，使△COD與△AOB相似？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)B作BH⊥AO于H，由tgA=

4

3

，設(shè)BH=4k，AH=3k，則AB=5k，在Rt△ABO中由tgA=

4

3

，AO=25即可求出AB、BH、AH及OH的長，進(jìn)而可得出B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出△A′B′C′，由OB′A′B′的長即可求出A′點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在Rt△AOC中，由AO=25，tgA=

4

3

可求出OC的長，設(shè)OA′的解析式為y=kx，由A′點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出k的值，由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出在直線OA′上存在點(diǎn)D符合條件，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，

3

4

x），則OD=

5

4

x，分別根據(jù)△COD∽△AOB、△COD∽△AOB求出x的值，進(jìn)而可得出D點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）過點(diǎn)B作BH⊥AO于H，由tgA=

4

3

，設(shè)BH=4k，AH=3k，則AB=5k
在Rt△ABO中，
∵tgA=

4

3

，AO=25，
∴AB=15（1分）
∴k=3，
∴BH=12（1分），AH=9，
∴OH=16（1分）
∴B（-16，12）（1分）

（2）正確畫圖（2分）
A′（20，15）（2分）

（3）在Rt△AOC中，AO=25，tgA=

4

3

，
∴OC=

100

3

（1分）
設(shè)OA′的解析式為y=kx，則15=20k，則k=

3

4

，
∴y=

3

4

x（1分）
∵△ABO旋轉(zhuǎn)至△A′B′O，
∴∠AOB=∠A′OB′，
∵∠AOB+∠A=90°，∠COA′+∠A′OB′=90°，
∴∠A=∠COA′
∴在直線OA′上存在點(diǎn)D符合條件，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，

3

4

x），則OD=

5

4

x
1°當(dāng)

CO

OD

=

AO

AB

即

100 3

5 4 x

=

25

15

，也即x=16時(shí)，△COD與△AOB相似，
此時(shí)D（16，12）（2分）
2°當(dāng)

CO

OD

=

AB

AO

即

100 3

5 4 x

=

15

25

，也即x=

400

9

時(shí)，△COD與△AOB相似，
此時(shí)D（

400

9

，

100

3

）（2分）

點(diǎn)評：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，涉及到坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及解直角三角形，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．