Question

在△ABC中，分別以AB、AC為斜邊作Rt△ABH、Rt△ACI，且使∠ABH=∠ACI=α，P為BC中點，則PH、PI的夾角為

 

，你的理由是

 

．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),三角形中位線定理

專題：計算題

分析：PH、PI的夾角為2α，理由為：取D、E分別為AB、AC的中點，連接PD，PE，HD，IE，由中位線定理及直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到HD=PE，DP=EI，利用等腰三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得到三角形PDH與三角形IEP全等，利用全等三角形對應(yīng)角相等得到∠DHP=∠EPI，由PE與AB平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等得到∠BDP=∠DPE，利用三角形外角性質(zhì)及內(nèi)角和定理即可求出．

解答：解：PH、PI的夾角為2α，理由為：
取D、E分別為AB、AC的中點，連接PD，PE，HD，IE，
在Rt△ABH中，HD為斜邊上的中線，
∴HD=

1

2

AB，IE=

1

2

AC，
在△ABC中，D為AB中點，P為BC中點，
∴DP∥AC，DP=

1

2

AC，同理PE∥AB，PE=

1

2

AB，
∴HD=PE，DP=IE，∠PDB=∠BAC，∠CEP=∠BAC，
在等腰△HBD中，∠DBH=α，
∴∠HDB=180°-2α，
同理∠CEI=180°-2α，即∠HDB=∠CEI，
∴∠BDH+∠BDP=∠PEC+∠CEI，即∠PDH=∠IEP，
在△PDH和△IEP中，

HD=EP ∠PDH=∠IEP DP=EI

，
∴△PDH≌△IEP（SAS），
∴∠DHP=∠EPI，
∵PE∥AB，
∴∠BDP=∠DPE，
∴∠HPI=∠HPD+∠DPE+∠EPI=∠HPD+∠BDP+∠DHP=∠PHD+∠DFH=180°-∠HDB=180°-（180°-2α）=2α．
故答案為：2α；取D、E分別為AB、AC的中點，連接PD，PE，HD，IE，
在Rt△ABH中，HD為斜邊上的中線，
∴HD=

1

2

AB，IE=

1

2

AC，
在△ABC中，D為AB中點，P為BC中點，
∴DP∥AC，DP=

1

2

AC，同理PE∥AB，PE=

1

2

AB，
∴HD=PE，DP=IE，∠PDB=∠BAC，∠CEP=∠BAC，
在等腰△HBD中，∠DBH=α，
∴∠HDB=180°-2α，
同理∠CEI=180°-2α，即∠HDB=∠CEI，
∴∠BDH+∠BDP=∠PEC+∠CEI，即∠PDH=∠IEP，
在△PDH和△IEP中，

HD=EP ∠PDH=∠IEP DP=EI

，
∴△PDH≌△IEP（SAS），
∴HP=IP，∠DHP=∠EPI，
∵PE∥AB，
∴∠BDP=∠DPE，
∴∠HPI=∠HPD+∠DPE+∠EPI=∠HPD+∠BDP+∠DHP=∠PHD+∠DFH=180°-∠HDB=180°-（180°-2α）=2α．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．