Question

如圖，已知⊙Ｏ的弦ＡＢ等于半徑，連結(jié)ＯＢ并延長(zhǎng)使ＢＣ＝ＯＢ．

（１）∠ＡＢＣ＝　　　　　°；

（２）ＡＣ與⊙Ｏ有什么關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；

（３）在⊙Ｏ上，是否存在點(diǎn)Ｄ，使得ＡＤ＝ＡＣ？若存在，請(qǐng)畫出圖形，并給出證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

 

Answer 1

（１）１２０°（２）ＡＣ是⊙Ｏ的切線，證明見解析（３）存在，證明見解析

解析:解：（１）１２０°；……………………………………………………………１分

（２）ＡＣ是⊙Ｏ的切線．……………………………………………………３分

證法一

∵ＡＢ＝ＯＢ＝ＯＡ，∴△ＯＡＢ為等邊三角形，…………………………４分

∴∠ＯＢＡ＝∠ＡＯＢ＝６０°．……………………………………………５分

∵ＢＣ＝ＢＯ，∴ＢＣ＝ＢＡ，

∴∠Ｃ＝∠ＣＡＢ，……………………………………………………………６分

又∵∠ＯＢＡ＝∠Ｃ＋∠ＣＡＢ＝２∠Ｃ，

即２∠Ｃ＝６０°，∴∠Ｃ＝３０°，………………………………………７分

在△ＯＡＣ中，∵∠Ｏ＋∠Ｃ＝６０°＋３０°＝９０°，

∴∠ＯＡＣ＝９０°，…………………………………………………………８分

∴ＡＣ是⊙Ｏ的切線；

證法二：

∵ＢＣ＝ＯＢ，∴點(diǎn)Ｂ為邊ＯＣ的中點(diǎn)，……………………………………４分

即ＡＢ為△ＯＡＣ的中位線，…………………………………………………５分

∵ＡＢ＝ＯＢ＝ＢＣ，即ＡＢ是邊ＯＣ的一半，……………………………６分

∴△ＯＡＣ是以ＯＣ為斜邊的直角三角形，…………………………………７分

∴∠ＯＡＣ＝９０°，…………………………………………………………８分

∴ＡＣ是⊙Ｏ的切線；

（３）存在．……………………………………………………………………９分

方法一：

如圖２，延長(zhǎng)ＢＯ交⊙Ｏ于點(diǎn)Ｄ，即為所求的點(diǎn)．…………………………１０分

證明如下：

連結(jié)ＡＤ，∵ＢＤ為直徑，∴∠ＤＡＢ＝９０°．…………………………１１分

在△ＣＡＯ和△ＤＡＢ中，

∵，∴△ＣＡＯ≌△ＤＡＢ（ＡＳＡ），………………１２分

∴ＡＣ＝ＡＤ．…………………………………………………………………１３分

（也可由ＯＣ＝ＢＤ，根據(jù)ＡＡＳ證明；或ＨＬ證得，或證△ＡＢＣ≌△ＡＯＤ）

方法二：

如圖３，畫∠ＡＯＤ＝１２０°，……………………………………………１０分

ＯＤ交⊙Ｏ于點(diǎn)Ｄ，即為所求的點(diǎn)．…………………………………………１１分

∵∠ＯＢＡ＝６０°，

∴∠ＡＢＣ＝１８０°－６０°＝１２０°．

在△ＡＯＤ和△ＡＢＣ中，

∵，∴△ＡＯＤ≌△ＡＢＣ（ＳＡＳ），………………１２分

 

 

 

 

∴ＡＤ＝ＡＣ．…………………………………………………………………１３分

（１）由已知可知△AOB為等邊三角形，利用平角求出∠ＡＢＣ的度數(shù)

（２）利用直角三角形的性質(zhì)求出∠ＯＡＣ＝９０°，從而得出結(jié)論

（３）延長(zhǎng)ＢＯ交⊙Ｏ于點(diǎn)Ｄ，即為所求的點(diǎn)，利用全等三角形求證