Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過A（2，4），其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是

1

2

，它的圖象與x軸交點(diǎn)為B（x₁，0）和（x₂，0），且x₁²+x₂²=13．求：
（1）此函數(shù)的解析式，并畫出圖象；
（2）在x軸上方的圖象上是否存在著D，使S_△ABC=2S_△DBC？若存在，求出D的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知函數(shù)的解析式，把點(diǎn)（2，4）代入，然后再根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式及方程兩根之和和兩根之差，列出三個(gè)式子，從而求解；
（2）先設(shè)出D點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再根據(jù)已知條件S_△ABC=2S_△DBC，求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求解．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過A（2，4），
∴4a+2b+c=4 ①
∵頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是

1

2

，
-

b

2a

=

1

2

②
∵函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)為B（x₁，0）和（x₂，0），
∴x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=

b2-2ac

a2

=13③
x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，
由②得：a=-b代入①得：-2b+c=4 c=2b+4，
將a=-b c=2b+4代入③得：b²+2b（2b+4）=13b²，
b=0或b=1
∵b=0不合題意，
∴b=1，a=-1，c=6
∴y=-x²+x+6；

（2）設(shè)D（x，y） 則S_△ABC=

1

2

×BC×4=10，
S_△DBC=

1

2

×5|y|=

5

2

y=5，
∴y=2，
將y=2代入y=-x²+x+6，
x=

1± 17

2

∴D(

1+ 17

2

，2)或(

1- 17

2

，2)．

點(diǎn)評(píng)：（1）第一問主要考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，還考查一元二次方程與函數(shù)的關(guān)系．
（2）此問把三角形的面積公式同函數(shù)結(jié)合起來出題，求特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，比較新穎．