Question

如圖，PA為⊙O的切線，A為切點(diǎn)，直線PO交⊙O于點(diǎn)E，F(xiàn)，過點(diǎn)A作PO的垂線AB，垂足為D，交⊙O于點(diǎn)B，BO的延長線交⊙O于點(diǎn)C．
（1）求證：PB與⊙O相切；
（2）連接AC，BF，BE，若AC=3，BE：BF=1：2，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OA，證明△POB≌△POA，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等證得∠OAP=90°，即直線PA為⊙O的切線；   
（2）連接BE，構(gòu)建直角△BEF．在該直角三角形中利用銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理可設(shè)BE=x，BF=2x，進(jìn)而可得EF=

5

x；然后由面積法求得BD=

2 5

5

x，所以根據(jù)垂徑定理求得AB的長度，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理易求BC的長．

解答：（1）證明：連接OA，
∵PA與圓O相切，
∴PA⊥OA，即∠OAP=90°，
∵OP⊥AB，
∴D為AB中點(diǎn)，即OP垂直平分AB，
∴PA=PB，
在△OAP和△OBP中，

AP=BP OP=OP OA=OB

，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴BP⊥OB，
則直線PB為圓O的切線；

（2）解：連接AC、BE、BF．
∵EF是⊙O的直徑，
∴∠FBE=90°．
∵tan∠F=

BE

BF

=

1

2

，
∴BF=2BE，
∴可設(shè)BE=x，BF=2x，
則由勾股定理，得
EF=

BE2+BF2

=

5

x，
∵

1

2

BE•BF=

1

2

EF•BD，即

1

2

x•2x=

1

2

×

5

x•BD
∴BD=

2 5

5

x．
又∵AB⊥EF，
∴AB=2BD=

4 5

5

x，
∴Rt△ABC中，BC=

5

x，
AC²+AB²=BC²，
∴3²+（

4 5

5

x）²=（

5

x）²，
解得：x=

5

（舍去負(fù)值），
∴BC=

5

×

5

=5，
∴該圓的半徑是

1

2

BC=

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．