Question

如圖，在坐標(biāo)系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），拋物線的圖象過C點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；
（2）平移該拋物線的對(duì)稱軸所在直線l．當(dāng)l移動(dòng)到何處時(shí)，恰好將△ABC的面積分為相等的兩部分？
（3）點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使四邊形PACB為平行四邊形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）如答圖1所示，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，則∠CAD+∠ACD=90°。

∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°，
∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD。
∵在△AOB與△CDA中，，
∴△AOB≌△CDA（ASA）。
∴CD=OA=1，AD=OB=2。
∴OD=OA+AD=3。
∴C（3，1）。
∵點(diǎn)C（3，1）在拋物線上，
∴，解得：。
∴拋物線的解析式為：。
（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=。
∴S_△ABC=AB²=。
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，∵B（0，2），C（3，1），
∴，解得。
∴直線BC的解析式為。
同理求得直線AC的解析式為：。
如答圖1所示，設(shè)直線l與BC、AC分別交于點(diǎn)E、F，
則。
在△CEF中，CE邊上的高h(yuǎn)=OD﹣x=3﹣x．
由題意得：S_△CEF=S_△ABC，即： EF•h=S_△ABC。
∴，整理得：（3﹣x）²=3。
解得x=3﹣或x=3+（不合題意，舍去）。
∴當(dāng)直線l解析式為x=3﹣時(shí)，恰好將△ABC的面積分為相等的兩部分。
（3）存在。如答圖2所示，

過點(diǎn)C作CG⊥y軸于點(diǎn)G，則CG=OD=3，OG=1，BG=OB﹣OG=1。
過點(diǎn)A作AP∥BC，且AP=BC，連接BP，則四邊形PACB為平行四邊形。
過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，
則易證△PAH≌△BCG。
∴PH=BG=1，AH=CG=3，∴OH=AH﹣OA=2。
∴P（﹣2，1）。
∵拋物線解析式為：，當(dāng)x=﹣2時(shí)，y=1，即點(diǎn)P在拋物線上。
∴存在符合條件的點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，1）．。

（1）首先構(gòu)造全等三角形△AOB≌△CDA，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；然后利用點(diǎn)C的坐標(biāo)求出拋物線的解析式。
（2）首先求出直線BC與AC的解析式，設(shè)直線l與BC、AC交于點(diǎn)E、F，則可求出EF的表達(dá)式；根據(jù)S_△CEF=S_△ABC，列出方程求出直線l的解析式；
（3）首先作出?PACB，然后證明點(diǎn)P在拋物線上即可。