(2008•連云港)如圖,現(xiàn)有兩塊全等的直角三角形紙板Ⅰ,Ⅱ,它們兩直角邊的長(zhǎng)分別為1和2.將它們分別放置于平面直角坐標(biāo)系中的△AOB,△COD處,直角邊OB,OD在x軸上.一直尺從上方緊靠?jī)杉埌宸胖茫尲埌澧裱刂背哌吘壠叫幸苿?dòng).當(dāng)紙板Ⅰ移動(dòng)至△PEF處時(shí),設(shè)PE,PF與OC分別交于點(diǎn)M,N,與x軸分別交于點(diǎn)G,H.
(1)求直線AC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)點(diǎn)P是線段AC(端點(diǎn)除外)上的動(dòng)點(diǎn)時(shí),試探究:
①點(diǎn)M到x軸的距離h與線段BH的長(zhǎng)是否總相等?請(qǐng)說(shuō)明理由;
②兩塊紙板重疊部分(圖中的陰影部分)的面積S是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值及S取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】分析:(1)根據(jù)直角三角板的直角邊長(zhǎng)分別為1和2可知:AB=OD=2,OB=CD=1.即A點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,2);C點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,1).可根據(jù)A、C的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求出直線AC的函數(shù)解析式.
(2)①M(fèi)到x軸的距離就是M的縱坐標(biāo),而B(niǎo)H的長(zhǎng)就是P的橫坐標(biāo)減去OB的長(zhǎng),可先根據(jù)直線AC的解析式設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo),那么可得出BH的長(zhǎng).根據(jù)∠GPH的正切值,可表示出GH的長(zhǎng),也就求出了G點(diǎn)的坐標(biāo).然后求點(diǎn)M的縱坐標(biāo).可先根據(jù)OC所在直線的解析式設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo),然后將M點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線PG的解析式中(可根據(jù)P,G兩點(diǎn)的坐標(biāo)求得)可得出M縱坐標(biāo)的表達(dá)式,然后同BH的表達(dá)式進(jìn)行比較即可得出M到x軸的距離是否與BH相等.
②根據(jù)①我們可得出M、N、G三點(diǎn)的坐標(biāo),然后根據(jù)陰影部分的面積=△ONH的面積-△OMG的面積.即可得出關(guān)于S的函數(shù)解析式.然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最大值以及對(duì)應(yīng)的P的坐標(biāo).
解答:解:(1)由直角三角形紙板的兩直角邊的長(zhǎng)為1和2,
知A,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1,2),(2,1).
設(shè)直線AC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b.

解得
∴直線AC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-x+3.

(2)①點(diǎn)M到x軸距離h與線段BH的長(zhǎng)總相等.
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,1),
∴直線OC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=x.
又∵點(diǎn)P在直線AC上,
∴可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,3-a).
過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線,設(shè)垂足為點(diǎn)K,則有MK=h.
∵點(diǎn)M在直線OC上,
∴有M(2h,h).
∵紙板為平行移動(dòng),
故有EF∥OB,即EF∥GH.
又EF⊥PF,∴PH⊥GH.
故Rt△PHG∽R(shí)t△PFE,可得
故GH=PH=(3-a).
∴OG=OH-GH=a-(3-a)=(a-1).
故G點(diǎn)坐標(biāo)為((a-1),0).
設(shè)直線PG所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=cx+d,
則有
解得
∴直線PG所對(duì)的函數(shù)關(guān)系式為y=2x+(3-3a)
將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入,可得h=4h+(3-3a).
解得h=a-1.
而B(niǎo)H=OH-OB=a-1,從而總有h=BH.
②由①知,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2a-2,a-1),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(a,a).
S=S△ONH-S△OMG=NH×OH-OG×h=a×a-×(a-1)
=-a2+a-
當(dāng)a=時(shí),S有最大值,最大值為
S取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為
點(diǎn)評(píng):本題著重考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、圖形平移變換、三角形相似等重要知識(shí)點(diǎn),綜合性強(qiáng),考查分類(lèi)討論,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.
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A.(m,-n)
B.(n,m)
C.(-m,n)
D.(|m|,|n|)

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(2)當(dāng)點(diǎn)P是線段AC(端點(diǎn)除外)上的動(dòng)點(diǎn)時(shí),試探究:
①點(diǎn)M到x軸的距離h與線段BH的長(zhǎng)是否總相等?請(qǐng)說(shuō)明理由;
②兩塊紙板重疊部分(圖中的陰影部分)的面積S是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值及S取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(1)求直線AC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)點(diǎn)P是線段AC(端點(diǎn)除外)上的動(dòng)點(diǎn)時(shí),試探究:
①點(diǎn)M到x軸的距離h與線段BH的長(zhǎng)是否總相等?請(qǐng)說(shuō)明理由;
②兩塊紙板重疊部分(圖中的陰影部分)的面積S是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值及S取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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