Question

如圖1，已知△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠XDY=90°，∠XDY分別交AC、BC于M、N．
（1）求證：DM=DN；
（2）若將∠XDY繞D點旋轉(zhuǎn)，使DX交AC的延長線于點M，DY交CB的延長線于點N，試借助圖2畫出圖形，并探索DN與DM的大小關(guān)系，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，D是AB的中點，
∴DA=DC，∠A=∠DCN=45°，CD⊥AB，
又∵∠ADM+∠MDC=90°，
而∠NDC+∠MDC=90°．
∴∠ADM=∠NDC，
∵在△ADM和△CDN中，
，
∴△ADM≌△CDN（ASA），
∴DM=DN；

（2）解：DN=DM．理由如下：
如圖所示，∵△ABC是等腰直角三角形，D是AB的中點，
∴DC=DB，∠ABC=∠DCB=45°，CD⊥AB，
∴∠DCM=∠DBN=135°，
又∵∠CDM+∠MDB=90°，
而∠NDB+∠MDB=90°，
∴∠CDM=∠BDN，
∵在△DCM和△DBN中
，
∴△DCM≌△DBN（ASA），
∴DM=DN．
分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到DA=DC，∠A=∠DCN=45°，CD⊥AB，再利用等角的余角相等得到∠ADM=∠NDC，然后根據(jù)“ASA”可判斷△ADM≌△CDN，則DM=DN；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到DC=DB，∠ABC=∠DCB=45°，CD⊥AB，利用平角的定義得∠DCM=∠DBN=135°，再利用等角的余角相等得到∠CDM=∠BDN，然后根據(jù)“ASA”可判斷△DCM≌△DBN，所以DM=DN．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應(yīng)邊相等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．