【題目】(問題背景)如圖1,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,且∠EAF=60°,探究圖中線段BE,EF,F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系.小明同學(xué)的方法是將△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)120°到△ADG的位置,然后再證明△AFE ≌△AFG,從而得出什么結(jié)論.
(探索延伸)如圖2,若在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F(xiàn)分別是BC,CD上的點(diǎn),且∠EAF=∠BAD,上述結(jié)論是否仍然成立,并說明理由.
(結(jié)論應(yīng)用)如圖3,在某次軍事演習(xí)中,艦艇甲在指揮中心(O處)北偏東60°的A處,艦艇乙在指揮中心南偏西20°的B處,并且兩艦艇到指揮中心的距離相等.接到行動指令后,艦艇甲向正南方向以30海里/小時的速度前進(jìn),艦艇乙沿南偏東40°的方向以50海里/小時的速度前進(jìn),1小時后,指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E,F(xiàn)處,且兩艦艇與指揮中心O之間夾角∠EOF=70°,試求此時兩艦艇之間的距離.
【答案】(1) (2) (3) 此時兩艦艇之間的距離為180海里.
【解析】
試題問題背景:將△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)120°到△ADG的位置后,AE=AG,DG=BE,∠EAF=∠FAG=60°,利用SAS證明△AFE ≌△AFG即可得出結(jié)論;探索延伸:延長FD到點(diǎn)G,使DG=BE,連接AG,通過SAS可證得△ABE≌△ADG,∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,∠EAF=∠FAG=60°,于是△AEF≌△AGF.EF=FG.所以FG=DG+DF=BE+DF.∴EF=BE+FD仍然成立.結(jié)論應(yīng)用:連接EF,∵∠AOB=140°,∠FOE=70°=∠AOB,又∵OA=OB,∠A+∠B=60°+120°=180°,符合探索延伸中的條件,即結(jié)論EF=AE+FB成立.因為AE=80,FB=100,于是求出此時兩艦艇之間的距離EF.
試題解析:問題背景:將△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)120°到△ADG的位置后,AE=AG,DG=BE,∠BAE=∠DAG,∠EAF=60°,∠EAG=120°,所以∠FAG=60°,∠EAG=∠FAG,所以△AFE ≌△AFG(SAS), ∴EF=FG.∵FG=DG+DF,所以EF=BE+FD.探索延伸:EF=BE+FD仍然成立,延長FD到點(diǎn)G,使DG=BE,連接AG,因為AB=AD,∠B=∠ADG=90°,所以△ABE≌△ADG,所以 ∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,所以∠EAG=∠FAG=60°,所以△AEF≌△AGF(SAS).∴EF=FG.又∵FG=DG+DF=BE+DF.∴EF=BE+FD.結(jié)論應(yīng)用:連接EF,∵∠AOB=30°+90°+20°=140°,∠FOE=70°=∠AOB,又∵OA=OB,∠A+∠B=60°+120°=180°,符合探索延伸中的條件,∴結(jié)論EF=AE+FB成立.因為BF=50×2=100,AE=40×2=80, 所以此時兩艦艇之間的距離EF=AE+FB=80+100=180海里,即此時兩艦艇之間的距離為180海里.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,BD是∠ABC平分線,DEAB于E,AB=36cm,BC=24cm,S△ABC =144cm2,則DE的長是( )
A. 4.8cm B. 4.5cm C. 4 cm D. 2.4cm
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以下列數(shù)組作為三角形的三條邊長,其中能構(gòu)成直角三角形的是( )
A. 1, ,3 B. , ,5 C. 1.5,2,2.5 D. , ,
【答案】C
【解析】A、12+()2≠32,不能構(gòu)成直角三角形,故選項錯誤;
B、(2+()2≠52,不能構(gòu)成直角三角形,故選項錯誤;
C、1.52+22=2.52,能構(gòu)成直角三角形,故選項正確;
D、())2+()2≠()2,不能構(gòu)成直角三角形,故選項錯誤.
故選:C.
【題型】單選題
【結(jié)束】
3
【題目】在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,則點(diǎn)C到斜邊AB的距離是( )
(A) (B) (C)9 (D)6
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某車間計劃加工360個零件,由于技術(shù)上的改進(jìn),提高了工作效率,每天比原計劃多加工20%,結(jié)果提前10天完成任務(wù),求原計劃每天能加工多少個零件?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,G是BD上一點(diǎn),連接CG并延長交BA的延長線于點(diǎn)F,交AD于點(diǎn)E.
(1)求證:AG=CG.
(2)求證:AG2=GEGF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若兩條拋物線的頂點(diǎn)相同,則稱它們?yōu)椤坝押脪佄锞”,拋物線C1:y1=﹣2x2+4x+2與C2:u2=﹣x2+mx+n為“友好拋物線”.
(1)求拋物線C2的解析式.
(2)點(diǎn)A是拋物線C2上在第一象限的動點(diǎn),過A作AQ⊥x軸,Q為垂足,求AQ+OQ的最大值.
(3)設(shè)拋物線C2的頂點(diǎn)為C,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣1,4),問在C2的對稱軸上是否存在點(diǎn)M,使線段MB繞點(diǎn)M逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MB′,且點(diǎn)B′恰好落在拋物線C2上?若存在求出點(diǎn)M的坐標(biāo),不存在說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)校準(zhǔn)備購進(jìn)一批節(jié)能燈,已知1只A型節(jié)能燈和3只B型節(jié)能燈共需26元;3只A型節(jié)能燈和2只B型節(jié)能燈共需29元.
(1)求一只A型節(jié)能燈和一只B型節(jié)能燈的售價各是多少元;
(2)學(xué)校準(zhǔn)備購進(jìn)這兩種型號的節(jié)能燈共50只,并且A型節(jié)能燈的數(shù)量不多于B型節(jié)能燈數(shù)量的3倍,請設(shè)計出最省錢的購買方案,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=9,AD=4.E為CD邊上一點(diǎn),CE=6.點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),以每秒1個單位的速度沿著邊BA向終點(diǎn)A運(yùn)動,連接PE.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t秒.
(1)求△ADE的周長;
(2)當(dāng)t為何值時,△PAE為直角三角形?
(3)是否存在這樣的t,使EA恰好平分∠PED,若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.
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