Question

（2013•河南模擬）如圖，在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠AOC=90°，OA=OC=5，BC=3．以O(shè)為原點(diǎn)，OA、OC所在的直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系．過A、B、C三點(diǎn)的拋物線交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接BD交y軸于點(diǎn)E，連接AC交BD于點(diǎn)F，比較AE和AB的大小，并說明理由；
（3）點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，判斷有幾個(gè)位置能夠使點(diǎn)P到直線AC的距離等于BF的長，直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）先寫出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；
（2）令y=0，解方程求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而得到OD的長，過點(diǎn)B作BH⊥AD于H，然后求出DH=BH=5，從而判斷出△BHD是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠BDH=45°，再求出∠OED=45°，然后求出OE=OD=2，再求出EC=3，得到BC=EC，再求出∠OCA=45°，∠BCA=45°，然后判斷出AC是BE的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等證明即可；
（3）先求出直線AC的解析式，再根據(jù)平行線間的距離相等，求出過點(diǎn)B、E與AC平行的直線的解析式，然后與拋物線解析式聯(lián)立求解即可．

解答：解：（1）由題意知，A（5，0），B（3，5），C（0，5），
設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
則

25a+5b+c=0 9a+3b+c=5 c=5

，
解得

a=- 1 2 b= 3 2 c=5

，
所以，拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+

3

2

x+5；

（2）AE=AB．
理由如下：令y=0，則-

1

2

x²+

3

2

x+5=0，
整理得，x²-3x-10=0，
解得x₁=-2，x₂=5，
∴點(diǎn)D（-2，0），OD=2，
過點(diǎn)B作BH⊥AD于H，
則BH=5，OH=3，
∴AH=5-3=2，DH=3+2=5，
∴DH=BH，
∴△BHD是等腰直角三角形，
∴∠BDH=45°，
∴∠OED=90°-45°=45°，
∴OE=OD=2，
∴CE=5-2=3，
∴BC=EC，
又∵OC=OA，
∴∠OCA=45°，
∴∠BCA=45°=∠OCA，
∴AC是BE的垂直平分線，
∴AE=AB；

（3）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
則

b=5 5k+b=0

，
解得

k=-1 b=5

，
所以，y=-x+5，
∵AC是BE的垂直平分線，
∴點(diǎn)P在過點(diǎn)B或點(diǎn)E與AC平行的直線上，
①易求過點(diǎn)B與AC平行的直線解析式為y=-x+8，
聯(lián)立

y=-x+8 y=- 1 2 x2+ 3 2 x+5

，
解得

x1=2 y1=6

，

x2=3 y2=5

（為點(diǎn)B坐標(biāo)），
∴點(diǎn)P₁（2，6）；
②易求過點(diǎn)E與直線AC平行的直線解析式為y=-x+2，
聯(lián)立

y=-x+2 y=- 1 2 x2+ 3 2 x+5

，
解得

x1=-1 y1=3

，

x2=6 y2=-4

，
∴點(diǎn)P₂（-1，3），P₃（6，-4），
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P₁（2，6），P₂（-1，3），P₃（6，-4）．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，平行線間的距離相等的性質(zhì)，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)的方法，綜合題，但難度不是很大．