Question

已知：如圖，兩個(gè)以O(shè)為圓心的同心圓，AB是大圓的直徑，弦BC切小圓于點(diǎn)D，CE⊥AB，垂足為E，大圓的直徑為25，小圓的直徑為15米．求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：要求AE的長(zhǎng)，需作輔助線，連接OD和AC，根據(jù)題意利用勾股定理，在三角形ODB中，可求出BD，進(jìn)而得到BC，同理在三角形ACB中，可求出AC，然后利用△ACE∽△ABC，通過比例線段，求出AE的長(zhǎng)．

解答：解：連接OD、AC，
∵BC切小圓于點(diǎn)D
∴OD⊥BC
又∵OB=12.5，OD=7.5
∴BD=

12.52-7.52

=10
因此根據(jù)垂徑定理知BC=20
在RT△ABC中，AC=

AB2-BC2

=

252-202

=15
又∵AB為圓的直徑，且CE⊥AB，
∴∠ACB=∠CEB=90°，又∠ABC=∠CBE，
∴△ACE∽△ABC
∴

AC

AB

=

AE

AC

即

15

25

=

AE

15

∴AE=9．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似的判定以及垂徑定理、勾股定理的應(yīng)用，難易適中．