Question

如圖，在△ABC中，點(diǎn)A，B分別在x軸的正、負(fù)半軸上（其中OA＜OB），點(diǎn)C在y軸的正半軸上，AB=10，OC=4，∠ABC=∠ACO．

（1）求經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣4，0），P是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

①直線DP交直線BC于點(diǎn)E，當(dāng)△BDE是等腰三角形時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；

②連結(jié)CD，CP，若∠PCD=∠CBD，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

　

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．

【分析】

（1）利用△BOC～△C0A得出比例式求出OA，OB，從而得出A（2，0），B（﹣8，0），再利用兩根式求解析式的方法即可求解；

（2）①根據(jù)點(diǎn)E在直線BC上，設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再根據(jù)平面坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式分別求出BE=，DE=，BD=4，而△BDE為等腰三角形，分三種情況：BE=BD，BE=DE，BD=DE，再求解方程，從而得到點(diǎn)E的坐標(biāo)；

②根據(jù)∠PCD=∠CBD作出直角三角形，利用平面坐標(biāo)系中互相垂直的直線的比例系數(shù)之積為﹣1，根據(jù)直線CD的解析式為y=x+4，設(shè)出直線PF的解析式為y=﹣x+4，利用銳角的三角函數(shù)求出CF=2PF，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，確定出CF=，PF=，求解絕對(duì)值方程即可．

【解答】解：（1）設(shè)OA=x，則OB=10﹣x，

∴∠ABC=∠ACO，∠AOC=∠COB，

∴△BOC～△C0A，

∴=，

∴OC²=OA×OB，

∴16=x（10﹣x），

∴x=8或x=2，

∴A（2，0），B（﹣8，0），

設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+8）（x﹣2）

∴4=（0+8）（0﹣2），

∴a=﹣，

∴y=﹣（x+8）（x﹣2）=﹣x²﹣x+4．

（2）

①∵B（﹣8，0），C（0，4），

∴直線BC的解析式為y=x+4，

設(shè)E（m，m+4），且B（﹣8，0），D（0，4），

∴BE=，DE=，BD=4，

∵△BDE為等腰三角形，

Ⅰ、當(dāng)BE=DE時(shí)，有=，

∴m=﹣6，

∴m+4=1，

∴E（﹣6，1），

Ⅱ、當(dāng)BE=BD時(shí)，有=4，

∴m=或m=，

∴E（，），E（，﹣），

Ⅲ、當(dāng)BD=DE時(shí)，有=4，

∴m=﹣或m=﹣8（舍）

∴E（﹣，），

∴E（﹣6，1），E（，），E（，﹣），E（﹣，）．

②∵C（0，4），D（﹣4，0），

∴直線CD的解析式為y=x+4，

作PF⊥CD，設(shè)直線PF的解析式為y=﹣x+4，

∴F（，），

設(shè)P（m，﹣m+b），

∴﹣m+b=﹣m²﹣m+4，

∴b=﹣m²﹣m+4，

∵P（﹣m，﹣m+b），F(xiàn)（，），C（0，4），

∴CF==，

PF==，

∵tan∠CBD=，∠CBD=∠PCF，

∴tan∠PCF==，

∴CF=2PF，

∴=2×，

∴m=﹣或m=﹣18，

∴b=﹣m²﹣m+4=﹣或b=﹣m²﹣m+4=﹣68，

∴P（﹣，）或P（﹣18，﹣50）．

【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有，平面坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式，如BE=，DE=，BD=4，相似矩形的判定和性質(zhì)，求解方程，解題的關(guān)鍵是利用平面坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式和作出輔助線．