Question

在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為（－8，0），直線BC經(jīng)過點B（－8，6），C（0，6），將四邊形OABC繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)α度（0＜α≤180°）得到四邊形OA′B′C′，此時直線OA′、直線B′C′分別與直線BC相交于P、Q．

（1）四邊形OABC的形狀是               ，         ；
（2）①如圖1，當(dāng)四邊形OA′B′C′的頂點B′落在y軸正半軸上時，求PQ的長；
②如圖2，當(dāng)四邊形OA′B′C′的頂點B′落在直線BC上時，求PQ的長．
（3）小明在旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點P位于點B的右側(cè)時，總存在線段PQ與線段        相等；同時存在著特殊情況，求出此時P點的坐標(biāo)。

Answer 1

解：（1）矩形           （2）①PQ=7.5                             6分
② （3）OP         

試題分析：解：（1）∵O為坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為（-8，0），直線BC經(jīng)過點B（-8，6），C（0，6），
∴OA=BC=8，OC=AB=6，∠AOA′=90°，
∴四邊形OABC的形狀是矩形；
當(dāng)α=90°時，P與C重合，如右圖，
根據(jù)題意，得BP/PQ=4/3，
則BP/BQ=4/7
（2）①如圖1，∵∠POC=∠B'OA'，∠PCO=∠OA'B'=90°，
∴△COP∽△A'OB'，
∴CP/A1B=OC/OA1
，即CP/6=6/8
∴CP=4.5
同理△B'CQ∽△B'C'O，CQ/OC=B1C/B1C，即
∴CQ=3，
PQ=CP+CQ=7.5
②如圖2，∵在△OCP和△B'A'P中，
△OCP≌△B'A'P（AAS），
∴OP=B'P，即OP=PQ，
設(shè)PQ=x．
在Rt△OCP中，（8-x）²+6²=x²，
解得x=25/4
故所求PQ的長為25/4；
（3）當(dāng)點P位于點B的右側(cè)時，總存在線段PQ與線段OP相等；同時存在著特殊情況BP=1/2BQ，此時點P的坐標(biāo)是P（7/4，6）．理由如下：
如備用圖，過點Q畫QH⊥OA′于H，連接OQ，則QH=OC′=OC，∵S_△POQ=1/2PQ•OC，S_△POQ=1/2OP•QH，
∴PQ=OP．
設(shè)BP=x，
∵BP=1/2BQ，
∴BQ=2x，
∵點P在點B右側(cè)，
∴OP=PQ=BQ-BP=x，PC=8-x．
在Rt△PCO中，（8-x）²+6²=x²，
解得x=25/4．
點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理．特別注意在旋轉(zhuǎn)的過程中的對應(yīng)線段相等，能夠用一個未知數(shù)表示同一個直角三角形的未知邊，根據(jù)勾股定理列方程求解．