Question

如圖，拋物線(xiàn)與x軸交于A(yíng)（1，0）、B（﹣3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），設(shè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D．

（1）求該拋物線(xiàn)的解析式與頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．

（2）試判斷△BCD的形狀，并說(shuō)明理由．

（3）探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）y=-x²-2x+3，（-1，4）；（2）△BCD是直角三角形．理由見(jiàn)解析；（3）存在，p₁（0，0）、p₂（0，）、p₃（-9，0）．

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；

（2）利用勾股定理求得△BCD的三邊的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可作出判斷；

（3）分p在x軸和y軸兩種情況討論，舍出P的坐標(biāo)，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求解．

試題解析：（1）設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=ax²+bx+c

由拋物線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)C（0，3），可知c=3．即拋物線(xiàn)的解析式為y=ax²+bx+3．

把點(diǎn)A（1，0）、點(diǎn)B（-3，0）代入，得

解得a=-1，b=-2

∴拋物線(xiàn)的解析式為y=-x²-2x+3．

∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4

∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，4）；

（2）△BCD是直角三角形．理由如下：

解法一：過(guò)點(diǎn)D分別作x軸、y軸的垂線(xiàn)，垂足分別為E、F．

∵在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，

∴BC²=OB²+OC²=18

在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，

∴CD²=DF²+CF²=2

在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，

∴BD²=DE²+BE²=20

∴BC²+CD²=BD²

∴△BCD為直角三角形．

解法二：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥y軸于點(diǎn)F．

在Rt△BOC中，∵OB=3，OC=3

∴OB=OC∴∠OCB=45°

∵在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1

∴DF=CF

∴∠DCF=45°

∴∠BCD=180°-∠DCF-∠OCB=90°

∴△BCD為直角三角形．

（3）①△BCD的三邊，，又，故當(dāng)P是原點(diǎn)O時(shí)，△ACP∽△DBC；

②當(dāng)AC是直角邊時(shí)，若AC與CD是對(duì)應(yīng)邊，設(shè)P的坐標(biāo)是（0，a），則PC=3﹣a，，即，解得：a=﹣9，則P的坐標(biāo)是（0，﹣9），三角形ACP不是直角三角形，則△ACP∽△CBD不成立；

③當(dāng)AC是直角邊，若AC與BC是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，設(shè)P的坐標(biāo)是（0，b），則PC=3﹣b，則，即，解得：b=，故P是（0，）時(shí)，則△ACP∽△CBD一定成立；

④當(dāng)P在x軸上時(shí)，AC是直角邊，P一定在B的左側(cè)，設(shè)P的坐標(biāo)是（d，0）．

則AP=1﹣d，當(dāng)AC與CD是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，，即，解得：d=1﹣3，此時(shí)，兩個(gè)三角形不相似；

⑤當(dāng)P在x軸上時(shí)，AC是直角邊，P一定在B的左側(cè)，設(shè)P的坐標(biāo)是（e，0）．

則AP=1﹣e，當(dāng)AC與DC是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，，即，解得：e=﹣9，符合條件．

總之，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為：p₁（0，0）、p₂（0，）、p₃（-9，0）．

考點(diǎn): 二次函數(shù)綜合題．