Question

【題目】在直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)P（0， ），曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為 （φ為參數(shù)）．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為ρ= ． （Ⅰ）判斷點(diǎn)P與直線(xiàn)l的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，求 + 的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）點(diǎn)P在直線(xiàn)l上，理由如下： 直線(xiàn)l：ρ= ，即 = ，亦即 = ，
∴直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程為： x+y= ，易知點(diǎn)P在直線(xiàn)l上．
（Ⅱ）由題意，可得直線(xiàn)l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），曲線(xiàn)C的普通方程為 =1．
將直線(xiàn)l的參數(shù)方程代入曲線(xiàn)C的普通方程，得5t2+12t﹣4=0，
設(shè)兩根為t1 ， t2 ，
∴t1+t2=﹣ ，t1t2=﹣ ，
∴|PA|+|PB|=|t1﹣t2|= = ，
∴ + = = = ．
【解析】（Ⅰ）點(diǎn)P在直線(xiàn)l上，理由如下：直線(xiàn)l：ρ= ，展開(kāi)可得 = ，可得直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程即可驗(yàn)證．（Ⅱ）由題意，可得直線(xiàn)l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），曲線(xiàn)C的普通方程為 =1．將直線(xiàn)l的參數(shù)方程代入曲線(xiàn)C的普通方程，得5t2+12t﹣4=0，可得|PA|+|PB|=|t1﹣t2|= ，即可得出．