Question

【題目】已知，點(diǎn)P是直角三角形ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），分別過(guò)A，B向直線(xiàn)CP作垂線(xiàn)，垂足分別為E，F，Q為斜邊AB的中點(diǎn)．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，AE與BF的位置關(guān)系是 ，QE與QF的數(shù)量關(guān)系式 ；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上不與點(diǎn)Q重合時(shí)，試判斷QE與QF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；

（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BA（或AB）的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，此時(shí)（2）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)畫(huà)出圖形并給予證明．

Answer 1

【答案】（1）AE∥BF，QE=QF；（2）QE=QF，證明見(jiàn)試題解析；（3）成立，證明見(jiàn)試題解析．

【解析】試題分析：(1)、證△BFQ≌△AEQ即可；(2)、證△FBQ≌△DAQ，推出QF=QD，根據(jù)直角三角形斜邊上中線(xiàn)性質(zhì)求出即可；(3)、證△AEQ≌△BDQ，推出DQ=QE，根據(jù)直角三角形斜邊上中線(xiàn)性質(zhì)求出即可．

試題解析：(1)、AE∥BF，QE=QF， 理由是：如圖1，∵Q為AB中點(diǎn)， ∴AQ=BQ，

∵BF⊥CP，AE⊥CP， ∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ=90°， 在△BFQ和△AEQ中

∴△BFQ≌△AEQ（AAS）， ∴QE=QF，

(2)、QE=QF， 如圖2，延長(zhǎng)FQ交AE于D， ∵Q為AB中點(diǎn)， ∴AQ=BQ，

∵BF⊥CP，AE⊥CP， ∴BF∥AE， ∴∠QAD=∠FBQ， 在△FBQ和△DAQ中

∴△FBQ≌△DAQ（ASA）， ∴QF=QD， ∵AE⊥CP，

∴EQ是直角三角形DEF斜邊上的中線(xiàn)， ∴QE=QF=QD， 即QE=QF．

(3)、(2)中的結(jié)論仍然成立， 如圖3， 延長(zhǎng)EQ、FB交于D， ∵Q為AB中點(diǎn)，

∴AQ=BQ， ∵BF⊥CP，AE⊥CP， ∴BF∥AE， ∴∠1=∠D， 在△AQE和△BQD中，

， ∴△AQE≌△BQD（AAS）， ∴QE=QD， ∵BF⊥CP，

∴FQ是斜邊DE上的中線(xiàn)， ∴QE=QF．