Question

（2012•高淳縣一模）已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AC是⊙O的直徑，D是

AB

的中點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)D作CB的垂線，分別交CB、CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F、E．
（1）判斷直線EF與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若CF=6，∠ACB=60°，求陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）直線EF與圓O相切，理由為：連接OD，由AC為圓O的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角可得出∠CBA為直角，再由CF垂直于FE，得到∠F為直角，根據(jù)同位角相等兩直線平行可得出AB與EF平行，再由D為

AB

的中點(diǎn)，利用垂徑定理的逆定理得到OD垂直于AB，可得出∠AMO為直角，根據(jù)兩直線平行同位角相等可得出∠ODE為直角，則EF為圓O的切線；
（2）在直角三角形CFE中，由CF的長(zhǎng)，及∠E為30°，利用30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出CE的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出EF的長(zhǎng)，在直角三角形ODE中，由∠E為30°，利用30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得到OE=2OD，又OE=OA+AE，可得出AE=OA=OC，由CE的長(zhǎng)求出半徑OA的長(zhǎng)，及OE的長(zhǎng)，又OD垂直于EF，CF垂直于EF，得到一對(duì)直角相等，再由一對(duì)公共角相等，可得出三角形ODE與三角形CFE相似，根據(jù)相似得比例，將各自的值代入求出DE的長(zhǎng)，再由∠E為30°求出∠DOE為60°，然后由陰影部分的面積=三角形ODE的面積-扇形OAD的面積，利用三角形的面積公式及扇形的面積公式計(jì)算即可得到陰影部分的面積．

解答：解：（1）直線EF與圓O相切，理由為：
連接OD，如圖所示：
∵AC為圓O的直徑，∴∠CBA=90°，
又∵∠F=90°，
∴∠CBA=∠F=90°，
∴AB∥EF，
∴∠AMO=∠EDO，
又∵D為

AB

的中點(diǎn)，
∴

BD

=

AD

，
∴OD⊥AB，
∴∠AMO=90°，
∴∠EDO=90°，
則EF為圓O的切線；

（2）在Rt△AEF中，∠ACB=60°，∴∠E=30°，
又∵CF=6，
∴CE=2CF=12，
根據(jù)勾股定理得：EF=

CE2-CF2

=6

3

，
在Rt△ODE中，∠E=30°，
∴OD=

1

2

OE，又OA=

1

2

OE，
∴OA=AE=OC=

1

3

CE=4，OE=8，
又∵∠ODE=∠F=90°，∠E=∠E，
∴△ODE∽△CFE，
∴

OD

FC

=

DE

EF

，即

4

6

=

DE

6 3

，
解得：DE=4

3

，
又∵Rt△ODE中，∠E=30°，
∴∠DOE=60°，
則S_陰影=S_△ODE-S_扇形OAD=

1

2

×4×4

3

-

60•π•42

360

=8

3

-

8π

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，平行線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，含30°角直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理的逆定理，以及扇形面積的求法，熟練掌握性質(zhì)與定理是解本題的關(guān)鍵．