已知直線y=-x+2m+1與雙曲線y=
m2+1x
有兩個不同的公共點A、B.
(1)求m的取值范圍;
(2)點A、B能否關于原點中心對稱?若能,求出此時m的值;若不能,說明理由.
分析:(1)直線y=-x+2m+1與雙曲線y=
m2+1
x
有兩個不同的公共點A、B,這兩個公共點的橫坐標就是方程-x+2m+1=
m2+1
x
的兩個不同的解,根據(jù)判別式可求m的取值范圍;
(2)用反證法:假設能,根據(jù)對稱特點,易求m值,與m的取值范圍比較,即可判定.
解答:解:(1)∵直線y=-x+2m+1與雙曲線y=
m2+1
x
有兩個不同的公共點A、B,
y=-x+2m+1
y=
m2+1
x
,
∴-x+2m+1=
m2+1
x
,
∴根據(jù)根的判別式可知:m>
3
4
;

(2)解法一:若A,B關于原點中心對稱,則它們的縱橫坐標互為相反數(shù),
所以方程(1)的兩根互為相反數(shù),
得2m+1=0,解得:m=-
1
2
,與m>
3
4
矛盾,
∴A,B不可能關于原點中心對稱.
解法二:若A、B兩點關于原點中心對稱,
則直線y=-x+2m+1過坐標原點,2m+1=0,m=-
1
2
,
此時直線為y=-x,所以A、B分別在第二、四象限,
由y=
m2+1
x
知,A、B應在第一、三象限,矛盾,
故A、B不能關于原點中心對稱.
點評:此題難度中等,考查反比例函數(shù)一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及一元二次方程根與系數(shù)關系.
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8
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