Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，點F、G分別是邊BC、CD的中點，連接AF、FG，過點D作DE∥FG交AF于點E．
（1）求證：△AED≌△CGF；
（2）若梯形ABCD為直角梯形，∠B=90°，判斷四邊形DEFG是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論；
（3）若梯形ABCD的面積為a（平方單位），則四邊形DEFG的面積為______（平方單位）．（只寫結(jié)果，不必說理）

Answer 1

（1）證明：∵BC=2AD，點F為BC的中點，
∴CF=AD．
又∵AD∥BC，
∴四邊形AFCD是平行四邊形，
∴∠DAE=∠C，AF∥DC，
∴∠AFG=∠CGF．
∵DE∥GF，
∴∠AED=∠AFG，
∴∠AED=∠CGF
∴△AED≌△CGF；

（2）解：結(jié)論：四邊形DEFG是菱形．
證明如下：連接DF．
由（1）得AF∥DC，
又∵DE∥GF，
∴四邊形DEFG是平行四邊形．
∵AD∥BC，AD=BF=BC，
∴四邊形ABFD是平行四邊形，
又∵∠B=90°，
∴四邊形ABFD是矩形，
∴∠DFC=90°，
∵點G是CD的中點，
∴FG=DG=CD，
∴四邊形DEFG是菱形；

（3）四邊形DEFG的面積=梯形ABCD的面積-S_△ABF-2S_△CFG，
∵梯形ABCD的面積為a，
∴四邊形DEFG的面積為a；
分析：（1）∵BC=2AD，點F為BC的中點，∴CF=AD．又∵AD∥BC，∴四邊形AFCD是平行四邊形，∴∠DAE=∠C，AF∥DC，∴∠AFG=∠CGF．∵DE∥GF，∴∠AED=∠AFG，∴∠AED=∠CGF即可證明△AED≌△CGF．
（2）結(jié)論：四邊形DEFG是菱形，連接DF．由（1）得AF∥DC，又∵DE∥GF，∴四邊形DEFG是平行四邊形．∵AD∥BC，AD=BF=BC∴四邊形ABFD是平行四邊形，又∵∠B=90°，∴四邊形ABFD是矩形，∴∠DFC=90°．∵點G是CD的中點，∴FG=DG=CD即可證明
四邊形DEFG是菱形；
（3）四邊形DEFG的面積=梯形ABCD的面積-△ABF-2△CFG即可求解；
點評：本題考查了梯形及全等三角形的判定，難度較大，關鍵是掌握全等三角形的判定及菱形的判定方法．