Question

（2012•泰順縣模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（-3，-3），點(diǎn)C是y軸上一動點(diǎn)，要使△ABC為等腰三角形，則符合要求的點(diǎn)C的位置共有（　�。�

A．2個

B．3個

C．4個

D．5個

Answer 1

分析：首先根據(jù)題意求得AB的長，直線AB的解析式，然后以點(diǎn)A為圓心AB的長為半徑畫弧，交y軸于C₁和C₂，以點(diǎn)B為圓心BA的長為半徑畫弧，交y軸于點(diǎn)C₃和C₄，AB的中垂線交y軸于點(diǎn)C₅，即可求得答案．

解答：解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（-3，-3），
∴AB=

(1+3)2+32

=5，
如圖，①以點(diǎn)A為圓心AB的長為半徑畫弧，交y軸于C₁和C₂，
∴OC₁=OC₂=

52-12

=2

6

，
∴可得C₁（0，2

6

），C₂（0，-2

6

）；
②以點(diǎn)B為圓心BA的長為半徑畫弧，交y軸于點(diǎn)C₃和C₄，
可得C₃（0，1），C₄（0，-7）；
③AB的中垂線交y軸于點(diǎn)C₅，
設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，
∴

k+b=0 -3k+b=-3

，
解得：

k= 3 4 b=- 3 4

，
∴直線AB的解析式為：y=

3

4

x-

3

4

，
∴OE=

3

4

，AE=

5

4

，DE=

5

2

-

5

4

=

5

4

，
∴△DEC₅∽△OEA，
∴DE：OE=EC₅：AE，
∴EC₅=

25

12

，
∴OC₅=

17

6

，
∵C₅（0，-

17

6

）．
∴符合要求的點(diǎn)C的為：C₁（0，2

6

），C₂（0，-2

6

），C₃（0，1），C₄（0，-7），C₅（0，-

17

6

）．
故選D．

點(diǎn)評：此題考查了等腰三角形的判定，勾股定理，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．