Question

已知，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連接PA，PB，PC．將△PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△P′CB的位置（如圖）．
（1）設(shè)AB的長(zhǎng)為a，PB的長(zhǎng)為b（b＜a），求△PAB旋轉(zhuǎn)到△P′CB的過程中邊PA所掃過區(qū)域（圖中陰影部分）的面積；
（2）若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）依題意，將△P′CB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°可與△PAB重合，此時(shí)陰影部分面積=扇形BAC的面積-扇形BPP'的面積，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，兩個(gè)扇形的中心角都是90°，可據(jù)此求出陰影部分的面積．
（2）連接PP'，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：BP=BP'，旋轉(zhuǎn)角∠PBP'=90°，則△PBP'是等腰直角三角形，∠BP'C=∠BPA=135°，∠PP'C=∠BP'C-∠BP'P=135°-45°=90°，可推出△PP'C是直角三角形，進(jìn)而可根據(jù)勾股定理求出PC的長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵將△PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△P′CB的位置，
∴△PAB≌△P'CB，
∴S_△PAB=S_△P'CB，
S_陰影=S_扇形BAC-S_扇形BPP′=

π

4

（a²-b²）；

（2）連接PP′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：△APB≌△CP′B，
∴BP=BP′=4，P′C=PA=2，∠PBP′=90°，
∴△PBP'是等腰直角三角形，P'P²=PB²+P'B²=32；
又∵∠BP′C=∠BPA=135°，
∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°，即△PP′C是直角三角形．
PC=

P′P2+P′C2

=6．

點(diǎn)評(píng)：本題運(yùn)用旋轉(zhuǎn)知識(shí)，將不規(guī)則的陰影部分轉(zhuǎn)化為兩個(gè)扇形面積差，又利用旋轉(zhuǎn)將線段、角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，達(dá)到解題的目的．