Question

已知：如圖，⊙O與⊙P相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于點(diǎn)A，CP及其延長(zhǎng)線交⊙P于D、E，過點(diǎn)E作EF⊥CE交CB的延長(zhǎng)線于F． (1) 求證：BC是⊙P的切線； (2) 若CD＝2，CB＝，求EF的長(zhǎng)； (3) 若設(shè)k＝PE：CE，是否存在實(shí)數(shù)k，使△PBD恰好是等邊三角形？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	連接PA、PB，∵AC切⊙P于A，PA是⊙P的半徑，∴AC⊥PA，即：∠PAC＝90°，又∵四邊形PACB內(nèi)接于⊙O，∴∠PBC＋∠PAC＝180°，∴∠PBC＝90°，即PB⊥CB，又∵PB是⊙P的半徑，∴BC是⊙P的切線
(2)	由切割線定理，得：BC2＝CD·CE，∴CE＝，DE＝CE－CD＝4－2＝2，∴PB＝1，在Rt△EFC和Rt△BPC中，∠ECF＝∠BCP，∴Rt△EFC∽R(shí)t△BPC，∴EF＝；
(3)	存在實(shí)數(shù)k，使△PBD為等邊三角形． 　　即：k＝時(shí)，△PBD為等邊三角形．