Question

如圖，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，點(diǎn)M為EC的中點(diǎn)．求證：△BMD為等腰直角三角形．

Answer 1

分析：先證明△MDE≌△MFC，得出AD=ED=FC，再作AN⊥EC于點(diǎn)N，證出△DBF是等腰直角三角形，根據(jù)點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)，得出△BMD是等腰直角三角形．

解答：證明：過點(diǎn)C作CF∥ED，與DM的延長線交于點(diǎn)F，連接BF，
可證得△MDE≌△MFC，
∴DM=FM，DE=FC，
∴AD=ED=FC，
作AN⊥EC于點(diǎn)N，
由已知∠ADE=90°，∠ABC=90°，
可證得∠1=∠2，∠3=∠4，
∵CF∥ED，
∴∠1=∠FCM，
∴∠BCF=∠4+∠FCM=∠3+∠1=∠3+∠2=∠BAD，
∴△BCF≌△BAD，
∴BF=BD，∠5=∠6，
∴∠DBF=∠5+∠ABF=∠6+∠ABF=∠ABC=90°，
∴△DBF是等腰直角三角形，
∵點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)，
∴△BMD是等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，在本題中需要作輔助線來證明，難度較大．熟練掌握判定定理及性質(zhì)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．