Question

觀察下列圖形：

根據圖形及相應圓點個數的變化規(guī)律，求第n（n為正整數）個圖形中有

n²-n+1

個圓點．

Answer 1

分析：根據前5個圖形圓點的個數的變化不難發(fā)現后一個圖形比前一個圖形多的點數正好是連續(xù)偶數，然后利用求和公式求出第n個圖形的圓點的個數的表達式即可得解．

解答：解：第1個圖形有1個點，S₁=1，
第2個圖形有3個點，S₂-S₁=3-1=2×1，
第3個圖形有7個點，S₃-S₂=7-3=4=2×2，
第4個圖形有13個點，S₄-S₃=13-7=6=2×3，
第5個圖形有21個點，S₅-S₄=21-13=8=2×4，
…，
依此類推，第n個圖形的點數為S_n，則S_n-S_n-1=2（n-1），
所以，S₁+S₂-S₁+S₃-S₂+S₄-S₃+S₅-S₄+…+S_n-S_n-1=1+2×1+2×2+2×3+2×4+…+2（n-1），
所以，S_n=1+2[1+2+3+4+…+（n-1）]=1+2×

(1+n-1)(n-1)

2

=n²-n+1，
即第n個圖形圓點的個數為：n²-n+1．
故答案為：n²-n+1．

點評：本題是對圖形變化規(guī)律的考查，根據前幾個圖形的菱形的數目，發(fā)現后一個圖形比前一個圖形多的圓點的個數是連續(xù)偶數是解題的關鍵，難點是求和公式的利用．