Question

（2012•南京二模）情境一
我們知道：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．
我們還知道：①圓心角的度數(shù)等于與它所對的弧的度數(shù)，②同弧所對的圓周角相等，都等于該弧所對的圓心角的一半．由此，小明得到一個正確的結(jié)論：圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半．如圖1，∠LMN=

1

2

LN

．
問題1  填空：如圖1，如果

LN

的度數(shù)是80，那么∠LMN的度數(shù)是

40

．
情境二
小明把頂點在圓外，并且兩邊都和圓相交的角叫圓外角，并繼續(xù)探索．
如圖2，∵∠PTQ是△OPT的一個外角，
∴∠PTQ=∠O+∠P．
∴∠O=∠PTQ-∠P．
∵圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半（已在情境一中證明），
∴∠PTQ=

1

2

PQ

，∠P=

1

2

RT

．
∴∠O=∠PTQ-∠P=

1

2

PQ

-

1

2

RT

=

1

2

（

PQ

-

RT

）．
經(jīng)歷了上述探索、證明過程，小明發(fā)現(xiàn)了“圓外角的度數(shù)等于它所夾的較大弧的度數(shù)減去較小弧的度數(shù)所得差的一半”這個正確結(jié)論．
問題2  填空：如圖2，如果

PQ

=80°，

RT

=20°，那么∠O=

30

°．
問題3  類比情境二的內(nèi)容，請你就角的頂點在圓內(nèi)的情況進行探索．寫出你的發(fā)現(xiàn)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：問題1：根據(jù)圓心角定理得出

CN

所對圓心角度數(shù)，再利用圓周角定理得出答案即可．
問題2：利用證明的結(jié)論圓外角的度數(shù)等于它所夾的較大弧的度數(shù)減去較小弧的度數(shù)所得差的一半，得出∠O的度數(shù)即可．
問題3：利用圖形可以得出圓內(nèi)角的度數(shù)等于它和它的對頂角所對兩弧的度數(shù)和的一半，根據(jù)圓周角定理得出∠C=

1

2

DE

，∠D=

1

2

BC

，再利用三角形的外角性質(zhì)得出答案即可．

解答：解：
問題1：
∵

LN

的度數(shù)是80，
∴

LN

所對圓心角為80°，
∴∠LMN的度數(shù)是：

1

2

×80=40，
故答案為：40．

問題2：∵圓外角的度數(shù)等于它所夾的較大弧的度數(shù)減去較小弧的度數(shù)所得差的一半，

PQ

=80°，

RT

=20°
∴∠O=

1

2

（80°-20°）=30°．
故答案為：30；

問題3：頂點在圓內(nèi)的角叫圓內(nèi)角．（圓內(nèi)角的名稱可以用其他名稱替代），
圓內(nèi)角的度數(shù)等于它和它的對頂角所對兩弧的度數(shù)和的一半．
證明：如圖，延長BA，交圓于點D，延長CA，交圓于點E，連接CD．
∵∠BAC是△ACD 的一個外角，
∴∠BAC=∠C+∠D．
∵圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半（已在情境一中證明），
∴∠C=

1

2

DE

，∠D=

1

2

BC

．
∴∠BAC=∠C+∠D=

1

2

DE

+

1

2

BC

=

1

2

（

DE

+

BC

）．
∴命題成立．

點評：此題主要考查了圓周角定理的應用以及弧度與圓心角的關(guān)系和探索性問題，根據(jù)已知探索方法進行模仿變式進而得出新的規(guī)律是解題關(guān)鍵．