Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．點(diǎn)M在線段CA上，從C向A運(yùn)動(dòng)，速度為1米/秒；同時(shí)點(diǎn)N在線段AB上，從A向B運(yùn)動(dòng)，速度為2米/秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，∠AMN=∠ANM；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△ABC與△AMN相似？

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定,等腰三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由條件可知AM=12-t，AN=2t，利用條件可得到AM=AN，從而可得到關(guān)于t的方程，可求出t；
（2）當(dāng)∠MNA=90°時(shí)，可得

AN

AC

=

AM

AB

，當(dāng)∠NMA=90°時(shí)，有

AN

AB

=

AM

AC

，分別代入可得到關(guān)于t的方程，可求得t．

解答：解：
（1）∵BC=5米，AC=12米，
∴AM=12-t，AN=2t，
若∠AMN=∠ANM，則AM=AN，
即12-t=2t，
解得t=4秒
即當(dāng)t為4秒時(shí)，∠AMN=∠ANM；
（2）∵∠C=90°，
∴當(dāng)△ABC和△AMN相似時(shí)，有∠MNA=90°和∠NMA=90°兩種情況，且可求得AB=13，
當(dāng)∠MNA=90°時(shí)，可得

AN

AC

=

AM

AB

，即

2t

12

=

12-t

13

，解得t=

72

19

；
當(dāng)∠NMA=90°時(shí)，可得

AN

AB

=

AM

AC

，即

2t

13

=

12-t

12

，解得t=

156

37

；
即當(dāng)t為

72

19

秒或

156

37

秒時(shí)，△ABC與△AMN相似．

點(diǎn)評：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵，注意利用時(shí)間t表示出線段的長，化動(dòng)為靜是這類問題的一般思路．