Question

將非零的自然數(shù)按順序排成如下的三角形數(shù)陣：
定義“1”為三角形數(shù)陣的第一排，“2  3  4”為三角形數(shù)陣的第二排…．觀察數(shù)陣，探尋規(guī)律，解決以下問題：
（1）寫出第6排的自然數(shù)；
（2）第21排有多少個數(shù)？第21排的第一個數(shù)和最末一個數(shù)分別是多少？
（3）第n排有多少個數(shù)？第n排的第一個數(shù)和最末一個數(shù)分別是多少？
（4）求第10排各數(shù)之和；你能求出第n排各數(shù)之和嗎？試試看．

Answer 1

分析：通過觀察三角形數(shù)陣得到：第n排的第一個數(shù)為（n-1）²+1，第n排的數(shù)的個數(shù)為2（n-1）+1，據(jù)此解答．

解答：解：觀察得到：第n排的第一個數(shù)為（n-1）²+1，第n排的數(shù)的個數(shù)為2（n-1）+1；
因此：
（1）第6排的第1個數(shù)為：（6-1）²+11=26，數(shù)的個數(shù)為2×（6-1）+1=11個，
所以第6排的自然數(shù)分別為：26，27，28，29，30，31，32，33，34，35，36；
（2）第21排有2×（21-1）+1=41個數(shù)，第1個數(shù)為：（21-1）²+1=401，
最末一個數(shù)是401+（41-1）=441；
（3）第n排的數(shù)的個數(shù)為2（n-1）+1；第n排的第一個數(shù)為（n-1）²+1，
最末一個數(shù)是（n-1）²+1+2（n-1）+1-1=n²-4n；
（4）第10排有2×（10-1）+1=19個數(shù)，第1個數(shù)是（10-1）²+1=82，最末一個數(shù)是82+（19-1）=100，
所以第10排各數(shù)之和是

19×(82+100)

2

=1729；
第n排的數(shù)的個數(shù)為2（n-1）+1；第n排的第一個數(shù)為（n-1）²+1=n²-2n+2，
最末一個數(shù)是（n-1）²+1+2（n-1）+1-1=n²-4n；
所以第n排各數(shù)之和是

n(n2-2n+2+n2-4n)

2

=n³-3n²+n．

點評：考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化，本題是一道找規(guī)律的題目，要求學生通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題．