Question

如圖，G、H分別是兩個(gè)有公共頂點(diǎn)B的等腰直角三角形斜邊的中點(diǎn)，P是兩直角頂點(diǎn)連線CE的中點(diǎn)．
（1）如圖1，當(dāng)A、B、D在同一條直線上，探究PG、PH的關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖2，當(dāng)A、B、D不在同一條直線上，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，說明理由．

Answer 1

解：（1）PG=PH．
如圖1∵△ABC和△BDE是等腰直角三角形，
∴∠A=∠EBD=45°，∠D=∠CBA=45°，
∴AC∥BE，BC∥DE，
∴四邊形ABEC和四邊形BDEC是梯形，
∵G，H，P分別是AB，BD，CE的中點(diǎn)，
∴GP，HP分別是梯形ABEC和梯形BDEC的中位線，
∴PG∥AC，PH∥BC，
∴∠PGH=∠PHG=45°
∴PG=PH．

（2）仍然成立；理由如下：
連接CG，并延長(zhǎng)至M，使得CG=GM，連接ME、BM；
連接EH，并延長(zhǎng)至N，使得EH=HN，連接CN、BN；

則PG、PH分別是△CME、△ECN的中位線；
等腰△ABC中，G是AB中點(diǎn)，則CG⊥AG；
而CG=GM，則四邊形AMBC的對(duì)角線相等且互相垂直平分，
即四邊形AMBC是正方形，△CBM是等腰直角三角形；
同理△EBN也是等腰直角三角形；
∴CB=BM，BE=BN，且∠CBM=∠EBN=90°；
又∵∠MBE=∠CBN=90°+∠CBE，
∴△MBE≌△CBN，得ME=CN；
又∵M(jìn)E=2PG，CN=2PH，
則PG=PH．
所以（1）題的結(jié)論依然成立．
分析：（1）此題要根據(jù)梯形中位線定理求解，易得PG、PH分別是梯形ACEB、梯形CBDE的中位線，不論從邊的角度還是從角的角度都可以掙到PG=PH．
（2）此題需要利用全等三角形和三角形中位線定理求解；首先連接CG，并延長(zhǎng)至M，使得CG=GM，同理，連接EH，并延長(zhǎng)至N，使得EH=HN，那么PG、PH分別是△CME和△ECN的中位線，判定PG、PH是否相等，只需判斷ME和CN是否相等即可；連接MB、BN，易得CB=BM、EB=BN，而∠MBE=∠CBN=90°+∠CBE，由此可證得CM、CN所在的三角形全等，即可得到PG=PH仍然成立的結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了梯形中位線、三角形中位線定理的應(yīng)用，同時(shí)還涉及到等腰直角三角形、全等三角形的相關(guān)知識(shí)，難度較大．