Question

如圖，O是已知線段AB上一點(diǎn)，以O(shè)B為半徑的⊙O交線段AB于點(diǎn)C，以線段AO為直徑的半圓交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．
（1）求證：AE切⊙O于點(diǎn)D；
（2）若AC=2，且AC、AD的長(zhǎng)時(shí)關(guān)于x的方程x²-kx+4=0的兩根，求線段EB的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)點(diǎn)O位于線段AB何處時(shí)，△ODC恰好是等邊三角形？并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD．只需證明OD⊥AE即可；
（2）根據(jù)兩根之積求得AD的長(zhǎng)，再根據(jù)切割線定理求得AB的長(zhǎng)，再根據(jù)△AOD∽△AEB即可求解；
（3）要探索△ODC恰好是等邊三角形，則OB=OC，即點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，再進(jìn)一步反過(guò)來(lái)證明．
解答：（1）證明：連接OD．
根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，得OD⊥AE，
則AE切⊙O于點(diǎn)D．

（2）解：∵AC=2，AC、AD是所給方程的兩根，
∴2AD=4，
∴AD=2．
由切割線定理，得AD²=AC•AB，
∴AB==10，
則BC=AB-AC=10-2=8，
∴OD=4．
在△AOD和△AEB中，∵∠A=∠A，
又∵EB⊥AB，
∴∠EBA=∠ODA=90°
∴△AOD∽△AEB．
∴，
∴BE==4．

（3）解：當(dāng)點(diǎn)O位于線段AB上靠近B的三等分點(diǎn)處時(shí)，△ODC恰好為等邊三角形．
證明如下：∵OB=OC=BC，
∴AC=AB．
∴AC=OC=OD．
∴C為以AO為直徑的圓的圓心．
∴CD=OC=OD．
∴△ODC是等邊三角形．
點(diǎn)評(píng)：此題綜合運(yùn)用了圓周角定理的推論、相似三角形的判定和性質(zhì)、切割線定理以及等邊三角形的判定和性質(zhì)．