拋物線y=x2-k的頂點為P,與x軸交于A、B兩點,如果△ABP是正三角形,那么k=
 
分析:根據(jù)拋物線y=x2-k的頂點為P,可直接求出P點的坐標(biāo),進(jìn)而得出OP的長度,又因為△ABP是正三角形,得出∠OPB=30°,利用銳角三角函數(shù)即可求出OB的長度,得出B點的坐標(biāo),代入二次函數(shù)解析式即可求出k的值.
解答:精英家教網(wǎng)解:∵拋物線y=x2-k的頂點為P,
∴P點的坐標(biāo)為:(0,-k),∴PO=K,
∵拋物線y=x2-k與x軸交于A、B兩點,且△ABP是正三角形,
∴OA=OB,∠OPB=30°,
∴tan30°=
OB
OP
=
OB
k
,
∴OB=
3
3
k,
∴點B的坐標(biāo)為:(
3
3
k,0),點B在拋物線y=x2-k上,
∴將B點代入y=x2-k,得:
0=(
3
3
k)2-k,
整理得:
k2
3
-k=0,
解方程得:k1=0(不合題意舍去),k2=3.
故答案為:3.
點評:此題主要考查了二次函數(shù)頂點坐標(biāo)的求法,以及正三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)求值問題等知識,求出A或B點的坐標(biāo)進(jìn)而代入二次函數(shù)解析式是解決問題的關(guān)鍵.
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