Question

【提出問題】

（1）如圖1，在等邊△ABC中，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結(jié)CN．求證：∠ABC=∠ACN．

【類比探究】

（2）如圖2，在等邊△ABC中，點M是BC延長線上的任意一點（不含端點C），其它條件不變，（1）中結(jié)論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請說明理由．

【拓展延伸】

（3）如圖3，在等腰△ABC中，BA=BC，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN=∠ABC．連結(jié)CN．試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關系，并說明理由．

Answer 1

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．

【分析】（1）利用SAS可證明△BAM≌△CAN，繼而得出結(jié)論；

（2）也可以通過證明△BAM≌△CAN，得出結(jié)論，和（1）的思路完全一樣．

（3）首先得出∠BAC=∠MAN，從而判定△ABC∽△AMN，得到=，根據(jù)∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，得到∠BAM=∠CAN，從而判定△BAM∽△CAN，得出結(jié)論．

【解答】（1）證明：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，

∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，

∴∠BAM=∠CAN，

∵在△BAM和△CAN中，

∴△BAM≌△CAN（SAS），

∴∠ABC=∠ACN．

 

（2）解：結(jié)論∠ABC=∠ACN仍成立；

理由如下：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，

∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，

∴∠BAM=∠CAN，

∵在△BAM和△CAN中，

∴△BAM≌△CAN（SAS），

∴∠ABC=∠ACN．

 

（3）解：∠ABC=∠ACN；

理由如下：∵BA=BC，MA=MN，頂角∠ABC=∠AMN，

∴底角∠BAC=∠MAN，

∴△ABC∽△AMN，

∴=，

又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，

∴∠BAM=∠CAN，

∴△BAM∽△CAN，

∴∠ABC=∠ACN．

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關鍵是仔細觀察圖形，找到全等（相似）的條件，利用全等（相似）的性質(zhì)證明結(jié)論．