Question

探索研究
已知二次函數(shù)y=x²+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如下表：

x	…	-1	0	1	2	3	…
y	…	0	-5	-8	-9	-8	…

（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式，并在給定的坐標(biāo)系xOy中畫(huà)出函數(shù)的圖象；
（2）若A（m，y₁），B（m+4，y₂）兩點(diǎn)都在該函數(shù)的圖象上．
①試比較y₁與y₂的大小；
②若A、B兩點(diǎn)位于x軸的下方，點(diǎn)P為函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)Q為函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，解答以下問(wèn)題：
（Ⅰ）直接寫(xiě)出實(shí)數(shù)m的變化范圍是

 

；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)m，使得四邊形APBQ為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出m的值，并寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）任取兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，根據(jù)表格中提供的數(shù)據(jù)畫(huà)出圖象；
（2）①求出y₁-y₂的表達(dá)式，然再分大于0，等于0，小于0三種情況討論；
②（Ⅰ）先求出二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再根據(jù)交點(diǎn)在x軸的下方，令m大于左邊點(diǎn)的橫坐標(biāo)，m+4小于右邊點(diǎn)的橫坐標(biāo)，解不等式即可；
（Ⅱ）先求出AB與x軸平行，所以分（i）AB為平行四邊形的邊時(shí)，PQ與AB平行，此時(shí)點(diǎn)Q就是二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，（ii）AB為平行四邊形的對(duì)角線，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分的性質(zhì)，PQ平分AB，所以點(diǎn)Q就是二次函數(shù)的頂點(diǎn)，然后分別討論求解．

解答：解：（1）根據(jù)題意，

1-b+c=0 c=-5

，
解得

b=-4 c=-5

，
∴該二次函數(shù)解析式為y=x²-4x-5，圖象如右；

（2）①y₁-y₂=m²-4m-5-（m+4）²+4（m+4）+5=-8m，
∴當(dāng)m＞0時(shí)，-8m＜0，y₁＜y₂，
當(dāng)m=0時(shí)，-8m=0，y₁=y₂，
當(dāng)m＜0時(shí)，-8m＞0，y₁＞y₂；

②（Ⅰ）當(dāng)y=0時(shí)，x²-4x-5=0，
解得x₁=-1，x₂=5，
∴二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），（5，0），
∵A、B兩點(diǎn)位于x軸的下方，
∴m＞-1，m+4＜5，
解得-1＜m＜1；

（Ⅱ）∵二次函數(shù)對(duì)稱軸為x=-

-4

2×1

=2，
AB=|

m+4-m

2

|=2，
∴點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴AB∥x軸，
（i）若AB為平行四邊形的邊，則PQ∥AB，
∴點(diǎn)Q為二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，此時(shí)PQ=2-（-1）=3，或PQ=5-2=3，
而AB=m+4-m=4，
AB≠PQ，
∴AB不能是平行四邊形的邊；
（ii）若AB為平行四邊形的對(duì)角線，根據(jù)AB關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，得
點(diǎn)Q為二次函數(shù)頂點(diǎn)，
又x=2時(shí)，y=2²-4×2-5=-9，
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)是（2，-9），
根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分，點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)是

-9

2

=-4.5，
此時(shí)，m²-4m-5=-4.5，
解得m=

4-3 2

2

，或m=

4+3 2

2

（舍去）．
又∵此時(shí)AB∥x軸，
∴y₁=y₂，
∴-8m=0，
解得m=0，
∵m=

4-3 2

2

≠0，
∴不存在實(shí)數(shù)m，使得四邊形APBQ為平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及的知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，兩點(diǎn)的距離公式，平行四邊形的性質(zhì)，解一元二次方程，綜合性較強(qiáng)，難度較大．