Question

27、已知方程（x-1）（x-2）=k²，其中k為實(shí)數(shù)且k≠0，不解方程證明：
（1）這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）方程的一個(gè)根＞1，另一個(gè)根＜1．

Answer 1

分析：（1）判斷上述方程的根的情況，只要看根的判別式△=b²-4ac的值的符號(hào)就可以了．
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系以及（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1，確定兩個(gè)根的取值情況．

解答：證明：（1）把（x-1）（x-2）=k²化簡(jiǎn)，得x²-3x+2-k²=0，
∵有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，a=1，b=-3，c=2-k²，
∴△=b²-4ac=（-3）²-4×1×（2-k²）=1+4k²＞0，
∴方程兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

（2）設(shè)方程有兩個(gè)根為x₁和x₂，
∴（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1=2-k²-3+1=-k²，
∵k為實(shí)數(shù)且k≠0，
∴-k²＜0，因此方程的一個(gè)根＞1，另一個(gè)根＜1

點(diǎn)評(píng)：判斷一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系，可以轉(zhuǎn)化為判斷方程的根的判別式與0的大小關(guān)系，另外本題根據(jù)方程的一個(gè)根＞1，另一個(gè)根＜1，轉(zhuǎn)化為（x₁-1）（x₂-1）＜0，是解題的關(guān)鍵．