Question

在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解：
（1）16（6x-1）（2x-1）（3x+1）（x-1）+25=

（24x²-16x-3）²

．
（2）（6x-1）（2x-1）（3x-1）（x-1）+x²=

（6x²-6x+1）²

．
（3）（6x-1）（4x-1）（3x-1）（x-1）+9x⁴=

（9x²-7x+1）²

．

Answer 1

分析：（1）把16分解因數(shù)為2×2×4，分別乘入第二、三、四項(xiàng)，然后再第一二項(xiàng)相乘，第三四項(xiàng)相乘，利用整體思想根據(jù)多項(xiàng)式的乘法進(jìn)行計(jì)算即可求解；
（2）先利用多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算法則把第一、四項(xiàng)相乘，第二、三項(xiàng)相乘，然后再整理成（6x²-6x+1-x）（6x²-6x+1+x）的形式，根據(jù)平方差公式計(jì)算后即可消掉x²項(xiàng)，從而得解；
（3）先利用多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算法則把第一、四項(xiàng)相乘，第二、三項(xiàng)相乘，再利用換元法，令t=6x²-7x+1，整理成關(guān)于t與x²的形式，然后根據(jù)完全平方公式分解因式，最后再把t換成6x²-7x+1即可得解．

解答：解：（1）16（6x-1）（2x-1）（3x+1）（x-1）+25，
=[（6x-1）（4x-2）][（6x+2）（4x-4）]+25，
=（24x²-16x+2）（24x²-16x-8）+25，
=（24x²-16x）²-6（24x²-16x）-16+25，
=（24x²-16x）²-6（24x²-16x）+9，
=（24x²-16x-3）²；

（2）（6x-1）（2x-1）（3x-1）（x-1）+x²，
=[（6x-1）（x-1）][（2x-1）（3x-1）]+x²，
=（6x²-7x+1）（6x²-5x+1）+x²，
=（6x²-6x+1-x）（6x²-6x+1+x）+x²，
=（6x²-6x+1）²-x²+x²，
=（6x²-6x+1）²；

（3）（6x-1）（4x-1）（3x-1）（x-1）+9x⁴，
=[（6x-1）（x-1）][（4x-1）（3x-1）]+9x⁴，
=（6x²-7x+1）（12x²-7x+1）+9x⁴，
令t=6x²-7x+1，則12x²-7x+1=t+6x²，
∴原式=t（t+6x²）+9x⁴，
=t²+6•t•x²+9x⁴，
=（t+3x²）²，
=（6x²-7x+1+3x²）²，
=（9x²-7x+1）²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了因式分解的應(yīng)用，都是利用了整體思想或者是換元法進(jìn)行求解，根據(jù)系數(shù)的特點(diǎn)分組利用多項(xiàng)式的乘法整理成新的多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算是解題的關(guān)鍵，難度較大，計(jì)算時(shí)要認(rèn)真仔細(xì)．