Question

某研究性學(xué)習小組在探究矩形的折紙問題時，將一塊直角三角板的直角頂點繞矩形ABCD（AB＜BC）的對角線的交點O旋轉(zhuǎn)（①?②?③），圖中的M、N分別為直角三角形的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點．
（1）該學(xué)習小組成員意外的發(fā)現(xiàn)圖①（三角板一直角邊與OD重合）中，BN²=CD²+CN²，在圖③中（三角板一邊與OC重合），CN²=BN²+CD²，請你對這名成員在圖①和圖③中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論選擇其一說明理由．

（2）試探究圖②中BN、CN、CM、DM這四條線段之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由．
（3）將矩形ABCD改為邊長為1的正方形ABCD，直角三角板的直角頂點繞O點旋轉(zhuǎn)到圖④，兩直角邊與AB、BC分別交于M、N，直接寫出BN、CN、CM、DM這四條線段之間所滿足的數(shù)量關(guān)系．（不需要證明）

Answer 1

解：（1）選擇圖①證明：連接DN．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴BO=DO，∠DCN=90°，
∵ON⊥BD，∴NB=ND，
∵∠DCN=90°，
∴ND²=NC²+CD²，
∴BN²=NC²+CD²．

（2）CM²+CN²=DM²+BN²．理由如下：
延長MO交AB于E，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴BO=DO，∠ABC=∠DCB=90°，
∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO，∠BEO=∠DMO，
∴△BEO≌△DMO，
∴OE=OM，BE=DM，
∵NO⊥EM，
∴NE=NM，
∵∠ABC=∠DCB=90°，
∴NE²=BE²+BN²，NM²=CN²+CM²，
∴CN²+CM²=BE²+BN²，
即CN²+CM²=DM²+BN²．

（3）CM²-CN²+DM²-BN²=2．
分析：（1）作輔助線，連接DN，在Rt△CDN中，根據(jù)勾股定理可得：ND²=NC²+CD²，再根據(jù)ON垂直平分BD，可得：BN=DN，從而可證：BN²=NC²+CD²；
（2）作輔助線，延長MO交AB于點E，可證：△BEO≌△DMO，NE=NM，在Rt△BEN和Rt△MCN中，根據(jù)勾股定理和對應(yīng)邊相等，可證：CN²+CM²=DM²+BN²；
（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)知：OA=OB，∠OAM=∠OBN，∠AOB=∠AOM+∠BOM=90°，∠MON為直角三角板的直角，可知：∠MON=∠BOM+∠BON=90°，可得：∠AOM=∠BON，從而可證：△AOM≌△BON，AM=BN，又AB=BC，可得：BM=CN，在Rt△ADM和△BCM中，根據(jù)勾股定理：DM²=AM²+AD²=BN²+AD²，MC2=MB²+BC²=CN²+BC²，故可得：CM²-CN²+DM²-BN²=2．
點評：本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變化，在解題過程中要綜合應(yīng)用勾股定理、矩形、正方形的特殊性質(zhì)及三角形全等的判定等知識．