Question

如圖1，圖2所示，直線l：y=x+b過(guò)點(diǎn)P，點(diǎn)P自原點(diǎn)O開始，沿x軸正半軸以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），（0≤t≤7）．直角梯形ABCD，AB∥CD，∠D=90°，A（1，O），B（7，0），C（4，3）．直線l與折線DC-CB交于N，與折線DA-AB交于M，與y軸交于點(diǎn)Q．設(shè)△BMN的面積為S．

（1）用含t的代數(shù)式表示b；
（2）確定S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）t為何值時(shí)，S最大；
（4）t為何值時(shí)，S等于梯形ABCD面積的一半；
（5）直接寫出t為何值時(shí)，△POQ與以P，B，C為頂點(diǎn)的三角形相似．

Answer 1

解：（1）∵y=x+b過(guò)點(diǎn)P，且P（t，0），
∴0=t+b，
∴b=-t；

（2）∵四邊形ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠D=90°，A（1，O），B（7，0），C（4，3），
∴D（1，3）
∴AD=CD=3，AB=7-1=6．
∵y=x+b，當(dāng)x=0時(shí)，y=b，當(dāng)y=0時(shí)，x=-b，
∴OP=|-b|，OQ=|b|，
∴OP=OQ，
∴∠NPB=∠OPQ=45°．
過(guò)點(diǎn)C作CK⊥AB于K，
∴BK=7-4=3，CK=AD=3，
∴Rt△CKB為等腰直角三角形，
∴∠CBO=45°．
①當(dāng)0≤t≤1時(shí)，∠NPB=∠PMA=∠DMN=∠DNM=45°，AP=AM=1-t，
∴BQ=7-t，
∴S=S_△NBP-S_△PMB=（7-t）×3-（1-t）（7-t），
=（7-t）（2+t），
=-t²+t+7
②當(dāng)1≤t≤7時(shí)，M與P重合，AP=AM=t-1，
∵∠NPB=∠CBO=45°，
∴△NPB是等腰直角三角形，過(guò)N作NE⊥AB于E，
∴NE=PB=（7-t），
∴S=×（7-t）×（7-t），
=（7-t）²；

（3）①當(dāng)0≤t≤1時(shí)，
S=-t²+t+7，
=-（t-）²+，
∵a=-＜0，
∴拋物線的開口向下．
∴在對(duì)稱軸的左側(cè)，S隨t的增大而增大．
∵對(duì)稱軸為直線t=，
∴t=1時(shí)，S_最大=9；
②當(dāng)1≤t≤7時(shí)，
S=（t-7）²；
∵a=＞0，
∴拋物線的開口向上．
∴在對(duì)稱軸的左側(cè)，S隨t的增大而減�。�
∵對(duì)稱軸為直線t=7，
∴t=1時(shí)，S_最大=9，
綜上所述，t=1時(shí)，S_最大=9；

（4）由題意，得
S_梯形ABCD=（3+6）×3=．
①當(dāng)0≤t≤1時(shí)
S=-（t-）²+=，
解得：t=不符合0≤t≤1（舍去），
②當(dāng)1≤t≤7時(shí)，
S=（t-7）²=，
解得：t=7±3
∵1≤t≤7，
∴t=7-3．

（5）當(dāng)△POQ∽△PCB時(shí)，
∴，
如圖1，在△CBK中，由勾股定理，得
BC=3，
∵OP=t，PQ=t，BP=7-t，
∴，
解得：t₁=0（舍去），t₂=1；
當(dāng)△POQ∽△CPB時(shí)，
∴∠POQ=∠BPC=90°，
∴CP⊥AB，
∴PC=3，
∴AP=3，
∴OP=4，
∴t=4．
∴t=1，4時(shí)，△POQ與以P，B，C為頂點(diǎn)的三角形相似．
分析：（1）設(shè)P（t，0），將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式y(tǒng)=x+b就可以求出結(jié)論；
（2）當(dāng)0≤t≤1和1≤t≤7兩種情況，根據(jù)三角形的面積公式就可以求出其函數(shù)解析式；
（3）分兩種情況0≤t≤1和1≤t≤7由二次函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式的性質(zhì)就可以求出S的最大值；
（4）先由條件計(jì)算梯形ABCD的面積，再分兩種情況0≤t≤1和1≤t≤7時(shí)表示出面積建立方程求出其解即可；
（5）當(dāng)△POQ∽△PCB和△POQ∽△CPB時(shí)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可以求出t值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直角梯形的面積公式的運(yùn)用，二次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，靈活運(yùn)用分類討論思想是解答本題的關(guān)鍵．