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如圖1，在平面直角坐標系中，已知點A（0，4
3
），點B在x正半軸上，且∠ABO=30度．動點P在線段AB上從點A向點B以每秒
3
個單位的速度運動，設運動時間為t秒．在x軸上取兩點M，N作等邊△PMN．
（1）求直線AB的解析式；
（2）求等邊△PMN的邊長（用t的代數式表示），并求出當等邊△PMN的頂點M運動到與原點O重合時t的值；
（3）如果取OB的中點D，以OD為邊在Rt△AOB內部作如圖2所示的矩形ODCE，點C在線段AB上．設等邊△PMN和矩形ODCE重疊部分的面積為S，請求精英家教網出當0≤t≤2秒時S與t的函數關系式，并求出S的最大值．
分析：（1）先在直角三角形AOB中，根據∠ABO的度數和OA的長，求出OB的長，即可得出B點的坐標，然后用待定系數法即可求出直線AB的解析式．
（2）求等邊三角形的邊長就是求出PM的長，可在直角三角形PMB中，用t表示出BP的長，然后根據∠ABO的度數，求出PM的長．
當M、O重合時，可在直角三角形AOP中，根據OA的長求出AP的長，然后根據P點的速度即可求出t的值．
（3）本題要分情況進行討論：
①當N在D點左側且E在PM右側或在PM上時，即當0≤t≤1時，重合部分是直角梯形EGNO．
②當N在D點左側且E在PM左側時，即當1＜t＜2時，此時重復部分為五邊形，（如圖3）其面積可用△PMN的面積-△PIG的面積-△OMF的面積來求得．（也可用梯形ONGE的面積-三角形FEI的面積來求）．
③當N、D重合時，即t=2時，此時M、O也重合，此時重合部分為等腰梯形．
根據上述三種情況，可以得出三種不同的關于重合部分面積與t的函數關系式，進而可根據函數的性質和各自的自變量的取值范圍求出對應的S的最大值．
解答：解：（1）由OA=4
3
，∠ABO=30°，得到OB=12，
∴B（12，0），設直線AB解析式為y=kx+b，
把A和B坐標代入得：
b=4
3
12k+b=0
，
解得：
k=-
3
3
b=4
3
，
則直線AB的解析式為：y=-
3
3
x+4
3
．

（2）∵∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴AB=2OA=8
3
，
∵AP=
3
t，
∴BP=AB-AP=8
3
-
3
t，
∵△PMN是等邊三角形，
∴∠MPB=90°，
∵tan∠PBM=
PM
PB
，
∴PM=（8
3
-
3
t）×
3
3
=8-t．
如圖1，過P分別作PQ⊥y軸于Q，PS⊥x軸于S，
可求得AQ=
1
2
AP=
3
2
t，PS=QO=4
3
-
3
2
t，
∴PM=（4
3
-
3
t
2
）÷
3
2
=8-t，
當點M與點O重合時，
∵∠BAO=60°，
∴AO=2AP．
∴4
3
=2
3
t，
∴t=2．
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（3）①當0≤t≤1時，見圖2．
設PN交EC于點G，重疊部分為直角梯形EONG，作GH⊥OB于H．
∵∠GNH=60°，GH=2
3
，
∴HN=2，
∵PM=8-t，
∴BM=16-2t，
∵OB=12，
∴ON=（8-t）-（16-2t-12）=4+t，
∴OH=ON-HN=4+t-2=2+t=EG，
∴S=
1
2
（2+t+4+t）×2
3
=2
3
t+6
3
．
∵S隨t的增大而增大，
∴當t=1時，Smax=8
3
．
②當1＜t＜2時，見圖3．
設PM交EC于點I，交EO于點F，PN交EC于點G，重疊部分為五邊形OFIGN．
作GH⊥OB于H，
∵FO=4
3
-2
3
t，
∴EF=2
3
-（4
3
-2
3
t）=2
3
t-2
3
，
∴EI=2t-2．
∴S=S梯形ONGE-S△FEI=2
3
t+6
3
-
1
2
（2t-2）（2
3
t-2
3
）=-2
3
t2+6
3
t+4
3

由題意可得MO=4-2t，OF=（4-2t）×
3
，PC=4
3
-
3
t，PI=4-t，
再計算S△FMO=
1
2
（4-2t）2×
3

S△PMN=
3
4
（8-t）2，S△PIG=
3
4
（4-t）2，
∴S=S△PMN-S△PIG-S△FMO=
3
4
（8-t）2-
3
4
（4-t）2-
1
2
（4-2t）2×
3

=-2
3
t2+6
3
t+4
3

∵-2
3
＜0，
∴當t=
3
2
時，S有最大值，Smax=
17
3
2
．
③當t=2時，MP=MN=6，即N與D重合，
設PM交EC于點I，PD交EC于點G，重疊部
分為等腰梯形IMNG，見圖4．S=
3
4
×62-
3
4
×22=8
3
，
綜上所述：當0≤t≤1時，S=2
3
t+6
3
；
當1＜t＜2時，S=-2
3
t2+6
3
t+4
3
；
當t=2時，S=8
3
．
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∵
17
3
2
＞8
3
，
∴S的最大值是
17
3
2
．
點評：本題考查一次函數解析式的確定、圖形的面積求法、三角形相似及二次函數的綜合應用等知識，綜合性強，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．
練習冊系列答案
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科目：初中數學 來源： 題型：

23、在數學上，為了確定平面上點的位置，我們常用下面的方法：如圖甲，在平面內畫兩條互相垂直，并且有公共原點O的數軸，通常一條畫成水平，叫x軸，另一條畫成鉛垂，叫y軸，這樣，我們就說在平面上建立了一個平面直角坐標系，這是由法國數學家和哲學家笛卡爾創(chuàng)立的，這樣我們就能確定平面上點的位置，例如，要確定點M的位置，只要作MP⊥x軸，MP⊥y軸，設垂足N，P在各自數軸上所表示的數分別為x，y，則x叫做點M的橫坐標，y叫做點M的縱坐標，有序數對（x，y）叫做M點的坐標，如圖甲，點M的坐標記作（2，3），（1）△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖乙，請把△ABC向右平移3個單位，在平面直角坐標系中畫出平移后的△A′B′C′；
（2）請寫出平移后點A′的坐標，記作
（2，2）
．

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科目：初中數學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，將一塊腰長為2
2
cm的等腰直角三角板ABC如圖放置，BC邊與x軸重合，∠ACB=90°，直角頂點C的坐標為（-3，0）．
（1）點A的坐標為
（-3，2
2
）
（-3，2
2
）
，點B的坐為
(-3-2
2
，0)
(-3-2
2
，0)
；
（2）求以原點O為頂點且過點A的拋物線的解析式；
（3）現三角板ABC以1cm/s的速度沿x軸正方向平移，則平移的時間為多少秒時，三角板的邊所在直線與半徑為2cm的⊙O相切？

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科目：初中數學 來源：同步輕松練習　八年級　數學　上 題型：059

學校閱覽室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2張方桌拼成一行能坐6人(如圖)

(1)按照這種規(guī)定填寫下表：

(2)根據表中的數據，將s作為縱坐標，n作為橫坐標，在如圖所示的平面直角坐標系中找出相應各點．

(3)請你猜一猜上述各點會在某一個函數圖象上嗎？如果在某一函數圖象上，求出該函數的解析式，并利用你探求的結果，求出當n＝10時，s的值．

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科目：初中數學 來源：2013-2014學年北京海淀區(qū)九年級第一學期期中測評數學試卷（解析版） 題型：解答題

閱讀下面的材料：

小明在研究中心對稱問題時發(fā)現：

如圖1，當點為旋轉中心時，點繞著點旋轉180°得到點，點再繞著點旋轉180°得到點，這時點與點重合.

如圖2，當點、為旋轉中心時，點繞著點旋轉180°得到點，點繞著點旋轉180°得到點，點繞著點旋轉180°得到點，點繞著點旋轉180°得到點,小明發(fā)現P、兩點關于點中心對稱.

（1）請在圖2中畫出點、， 小明在證明P、兩點關于點中心對稱時，除了說明P、、三點共線之外，還需證明；

（2）如圖3，在平面直角坐標系xOy中，當、、為旋轉中心時，點繞著點旋轉180°得到點；點繞著點旋轉180°得到點；點繞著點旋轉180°得到點；點繞著點旋轉180°得到點. 繼續(xù)如此操作若干次得到點，則點的坐標為（），點的坐為．

 

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（1）△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖乙，請把△ABC向右平移3個單位，在平面直角坐標系中畫出平移后的△A′B′C′；
（2）請寫出平移后點A′的坐標，記作______．

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