Question

如圖，直角梯形OABC中，AB∥OC，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)C在x軸正半軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（2，2），∠BCO=60°，OH⊥BC于點(diǎn)H．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)H出發(fā)，沿線段HO向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，沿線段OA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）求OH的長(zhǎng)；
（2）若△OPQ的面積為S（平方單位）．求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．并求t為何值時(shí)，△OPQ的面積最大，最大值是多少；
（3）設(shè)PQ與OB交于點(diǎn)M．
①當(dāng)△OPM為等腰三角形時(shí)，求（2）中S的值． 
②探究線段OM長(zhǎng)度的最大值是多少，直接寫(xiě)出結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圖知圖形很特殊，利用直線的平行關(guān)系，求出直角，在直角三角形中解題，從而求出OH的長(zhǎng)；
（2）由幾何關(guān)系求出P點(diǎn)坐標(biāo)，將△OPQ的面積為S用t來(lái)表示，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題；
（3）思維要嚴(yán)密，△OPM為等腰三角形時(shí)，要分三種情況來(lái)討論；最后一問(wèn)求出M點(diǎn)坐標(biāo)，同樣轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題．
解答：解：（1）∵AB∥OC
∴∠OAB=∠AOC=90°
在Rt△OAB中，AB=2，AO=2
∴OB=4，tan∠ABO=，
∴∠ABO=60°，
∵AB∥OC
∴∠BOC=60°
又∵∠BCO=60°
∴△BOC為等邊三角形
∴OH=OBcos30°=4×=2；

（2）∵OP=OH-PH=2-t
∴x_p=OPcos30°=3-t，
y_p=OPsin30°=-t．
∴S=•OQ•x_p=•t•（3-t）
=（0＜t＜2）
即S=-
∴當(dāng)t=時(shí)，S_最大=；

（3）①若△OPM為等腰三角形，則：
（i）若OM=PM，∠MPO=∠MOP=∠POC
∴PQ∥OC
∴OQ=y_p即t=-
解得：t=
此時(shí)S=
（ii）若OP=OM，∠OPM=∠OMP=75°，∴∠OQP=45°
過(guò)P點(diǎn)作PE⊥OA，垂足為E，則有：EQ=EP
即t-（-t）=3-t
解得：t=2
此時(shí)S=
（iii）若OP=PM，∠POM=∠PMO=∠AOB，∴PQ∥OA
此時(shí)Q在AB上，不滿足題意．
②線段OM長(zhǎng)的最大值為．
點(diǎn)評(píng)：此題是一道動(dòng)態(tài)型壓軸題，融函數(shù)、數(shù)形結(jié)合，分類討論等重要數(shù)學(xué)思想于其中的綜合題，考查的知識(shí)主要有：直線形、解直角三角形、函數(shù)等重點(diǎn)知識(shí)，此題計(jì)算較易，但對(duì)學(xué)生的能力要求較高，解題時(shí)要切實(shí)把握幾何圖形的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，用運(yùn)動(dòng)、發(fā)展、全面的觀點(diǎn)分析圖形，采取“動(dòng)中求靜，靜中求動(dòng)”的解題策略，才能作出正確的解答．該題綜合性強(qiáng)、靈活性大、區(qū)分度高，是今后中考命題的搶眼題型，要引起我們今后教學(xué)的高度關(guān)注．