(2013•恩施州)如圖所示,直線l:y=3x+3與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B.把△AOB沿y軸翻折,點(diǎn)A落到點(diǎn)C,拋物線過點(diǎn)B、C和D(3,0).
(1)求直線BD和拋物線的解析式.
(2)若BD與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)M,點(diǎn)N在坐標(biāo)軸上,以點(diǎn)N、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△MCD相似,求所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo).
(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使S△PBD=6?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
分析:(1)由待定系數(shù)法求出直線BD和拋物線的解析式;
(2)首先確定△MCD為等腰直角三角形,因?yàn)椤鰾ND與△MCD相似,所以△BND也是等腰直角三角形.如答圖1所示,符合條件的點(diǎn)N有3個(gè);
(3)如答圖2、答圖3所示,解題關(guān)鍵是求出△PBD面積的表達(dá)式,然后根據(jù)S△PBD=6的已知條件,列出一元二次方程求解.
解答:解:(1)∵直線l:y=3x+3與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,
∴A(-1,0),B(0,3);
∵把△AOB沿y軸翻折,點(diǎn)A落到點(diǎn)C,∴C(1,0).
設(shè)直線BD的解析式為:y=kx+b,
∵點(diǎn)B(0,3),D(3,0)在直線BD上,
b=3
3k+b=0
,
解得k=-1,b=3,
∴直線BD的解析式為:y=-x+3.
設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x-1)(x-3),
∵點(diǎn)B(0,3)在拋物線上,
∴3=a×(-1)×(-3),
解得:a=1,
∴拋物線的解析式為:y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3.

(2)拋物線的解析式為:y=x2-4x+3=(x-2)2-1,
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1).
直線BD:y=-x+3與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)M,令x=2,得y=1,
∴M(2,1).
設(shè)對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)為點(diǎn)F,則CF=FD=MF=1,
∴△MCD為等腰直角三角形.
∵以點(diǎn)N、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△MCD相似,
∴△BND為等腰直角三角形.
如答圖1所示:
(I)若BD為斜邊,則易知此時(shí)直角頂點(diǎn)為原點(diǎn)O,
∴N1(0,0);
(II)若BD為直角邊,B為直角頂點(diǎn),則點(diǎn)N在x軸負(fù)半軸上,
∵OB=OD=ON2=3,
∴N2(-3,0);
(III)若BD為直角邊,D為直角頂點(diǎn),則點(diǎn)N在y軸負(fù)半軸上,
∵OB=OD=ON3=3,
∴N3(0,-3).
∴滿足條件的點(diǎn)N坐標(biāo)為:(0,0),(-3,0)或(0,-3).

(3)假設(shè)存在點(diǎn)P,使S△PBD=6,設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(m,n).
(I)當(dāng)點(diǎn)P位于直線BD上方時(shí),如答圖2所示:
過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E,則PE=n,DE=m-3.
S△PBD=S梯形PEOB-S△BOD-S△PDE=
1
2
(3+n)•m-
1
2
×3×3-
1
2
(m-3)•n=6,
化簡得:m+n=7 ①,
∵P(m,n)在拋物線上,
∴n=m2-4m+3,
代入①式整理得:m2-3m-4=0,
解得:m1=4,m2=-1,
∴n1=3,n2=8,
∴P1(4,3),P2(-1,8);
(II)當(dāng)點(diǎn)P位于直線BD下方時(shí),如答圖3所示:
過點(diǎn)P作PE⊥y軸于點(diǎn)E,則PE=m,OE=-n,BE=3-n.
S△PBD=S梯形PEOD+S△BOD-S△PBE=
1
2
(3+m)•(-n)+
1
2
×3×3-
1
2
(3-n)•m=6,
化簡得:m+n=-1 ②,
∵P(m,n)在拋物線上,
∴n=m2-4m+3,
代入②式整理得:m2-3m+4=0,△=-7<0,此方程無解.
故此時(shí)點(diǎn)P不存在.
綜上所述,在拋物線上存在點(diǎn)P,使S△PBD=6,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,3)或(-1,8).
點(diǎn)評(píng):本題是中考?jí)狠S題,綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、相似三角形的判定與性質(zhì)、圖形面積計(jì)算、解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn),考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想.第(2)(3)問均需進(jìn)行分類討論,避免漏解.
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