Question

若關于x的一元二次方程x²-2（m-1）x+m²-6=0有實數(shù)根α、β．
（1）求實數(shù)m的取值范圍；
（2）設t=

α+β

m

，求t的最小值．

Answer 1

考點：根的判別式,根與系數(shù)的關系

專題：

分析：（1）由于一元二次方程存在兩實根，令△≥0求得k的取值范圍；
（2）將α+β變形為含m的代數(shù)式，根據(jù)m的取值范圍分情況得出t的取值范圍，即可求解．

解答：解：（1）∵關于x的一元二次方程x²-2（m-1）x+m²-6=0有實數(shù)根α、β，
∴△≥0，
即4（m-1）²-4（m²-6）≥0，
4（m²-2m+1）-4m²+24≥0，
-8m+28≥0，
解得m≤3.5；

（2）由根與系數(shù)的關系得：a+β=2（m-1），
∴t=

α+β

m

=

2(m-1)

m

=2-

2

m

，
∵m≤3.5，m≠0，
∴分兩種情況：
①如果0＜m≤3.5，
那么-

2

m

≤-

2

3.5

，
∴2-

2

m

≤2-

2

3.5

，
即t≤

10

7

，t無最小值；
②如果m＜0，
那么-

2

m

＞0，
∴2-

2

m

＞2，
即t＞2，t無最小值．

點評：本題考查了根與系數(shù)的關系及根的判別式，難度適中，關鍵是掌握兩根之和、兩根之積與系數(shù)的關系．