Question

【題目】如圖①，AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線EF和⊙O相切于點C，AD⊥EF，垂足為D。

（1）求證：∠DAC＝∠BAC；

（2）若把直線EF向上平行移動，如圖②，EF交⊙O于G、C兩點，若題中的其它條件不變，猜想：此時與∠DAC相等的角是哪一個？并證明你的結論。

Answer 1

【答案】

【1】 連結OC，得OC∥AD。

【2】 連結BG，得∠ACD＝∠B。

【解析】

（1）連接OC，推出∠OCA=∠OAC，根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定和切線性質(zhì)得出∠DAC=∠OCA，即可得出答案；

（2）連接BC推出∠ADC=∠BCA=90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理推出∠DAC=∠BCG=∠BAG。

解答：

（1）證明：連接OC，如圖（1），

∵EF切⊙O于C，

∴OC⊥EF，

∵AD⊥EF，

∴OC∥AD，

∴∠DAC=∠OCA，

∵OA=OC，

∴∠BAC=∠OCA，

∴∠DAC=∠BAC．

（2）存在∠BAG=∠DAC，

理由是：連接BC，如圖（2），

∵AB是⊙O直徑，

∴∠BCA=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°，

∵∠ADC=90°，

∴∠ACD+∠DAC=90°，

∴∠DAC=∠BCG，

∵圓周角∠BAG和∠BCG都對弧BG，

∴∠BCG=∠BAG，

∴∠BAG=∠DAC．