Question

如圖，已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，CD與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D．
（1）若∠CAB=∠BCD，求證：CD是⊙O的切線；
（2）若AB=BD，CD=6，sin∠BCD=，求CB的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：連接OC．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角）；
又∵OA=OC（⊙O的半徑），
∴∠CAO=∠OCA，即∠CAB=∠OCA（等邊對(duì)等角）；
∵∠CAB=∠BCD（已知），
∴∠BCD=∠OCA，
∴∠OCA+∠OCB=∠BCD+∠OCB，即∠ACB=∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
即CD是⊙O的切線；

（2）解：∵OB=OA=OC=AB，AB=BD，
∴OD=3OC；
由（1）知，∠OCD=90°．則在Rt△OCD中，OD²=OC²+CD²，CD=6，
∴OC=
∴AB=2OC=3；
∵∠OCA+∠OCB=∠BCD+∠OCB=90°，∠CAB=∠OCA，
∴∠BCD=∠CAB，
∴sin∠BCD=sin∠CAB==，
∴CB=AB=，
即CB=．
分析：（1）連接OC．欲證CD是⊙O的切線，只需證明OC⊥CD即可；
（2）由已知條件“OB=OA=OC=AB，AB=BD”證得OD=3OC；然后根據(jù)（1）中切線的性質(zhì)在直角三角形OCD中利用勾股定理求得OC的長(zhǎng)度；最后利用等量代換、三角函數(shù)的定義知sin∠BCD=sin∠CAB==，從而求得CB的長(zhǎng)度．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定與性質(zhì)、勾股定理以及解直角三角形．證明過(guò)半徑的外端點(diǎn)且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是常用的方法，求圓的半徑常常用勾股定理，這些方法十分重要，要熟練掌握．