Question

△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=2cm．長(zhǎng)為1cm的線段MN在△ABC的邊AB上沿AB方向以1cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)前點(diǎn)M與點(diǎn)A重合）．過M、N分別作AB的垂線交直角邊于P、Q兩點(diǎn)，線段MN運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．
（1）線段MN運(yùn)動(dòng)過程中，t為何值時(shí)，四邊形MNQP為矩形？
（2）t為何值時(shí)，以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？
（3）若△AMP的面積為y，寫出y與t的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量t的取值范圍）

Answer 1

分析：（1）當(dāng)PM=QN時(shí)，四邊形MNQP為矩形，建立含t的方程，求得t的值；
（2）以C，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似有兩種情況，△PQC∽△ABC時(shí)和△QPC∽△ABC，分別相似三角形的判定和性質(zhì)，求得相對(duì)應(yīng)的t的值；
（3）分兩種情況，點(diǎn)P可以在AC上時(shí)和當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，利用三角函數(shù)分別用含t的代數(shù)式表示出PM，AM，再用S_△APM=

1

2

AM•PM得出y與t的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）∵AC=2，
∴AB=4，
∴BN=AB-AM-MN=4-t-1=3-t，
∴QN=BN•tan30°=

3

3

（3-t），
由條件知，若四邊形MNQP為矩形，需PM=QN，即

3

t=

3

3

（3-t），
∴t=

3

4

，
∴當(dāng)t=

3

4

s時(shí)，四邊形MNQP為矩形；

（2）由（1）知，當(dāng)t=

3

4

s時(shí)，四邊形MNQP為矩形，此時(shí)PQ∥AB，
∴△PQC∽△ABC，
除此之外，當(dāng)∠CPQ=∠B=30°時(shí)，△QPC∽△ABC，此時(shí)

CQ

CP

=tan30°=

3

3

，
∵

AM

AP

=cos60°=

1

2

，
∴AP=2AM=2t，
∴CP=2-2t，

BN

BQ

=cos30°=

3

2

，
∴BQ=

BN

3 2

=

2 3

3

（3-t），
又∵BC=2

3

，
∴CQ=2

3

-

2 3

3

（3-t）=

2 3

3

t，
∴

2 3 t 3

2-2t

=

3

3

，
∴t=

1

2

，
∴當(dāng)t=

3

4

s或

1

2

s時(shí)以C，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí)，∵AM=t，
∴PM=AM•tan60°=

3

t，
∴y=

1

2

t•

3

t=

3

2

t²（0≤t≤1）．
當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，PM=BM•tan30°=

3

3

（4-t），
∴y=

1

2

t•

3

3

（4-t）=-

3

6

t²+

2 3

3

t（1≤t≤3）．

點(diǎn)評(píng)：本題利用了銳角三角函數(shù)的概念，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形的面積公式求解，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想來解決圖形變化的問題，題目的綜合性不小，計(jì)算量也很大．