Question

已知：如圖，A是⊙O₁、⊙O₂的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)M是O₁O₂的中點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線BC垂直于MA，分別交⊙O₁、⊙O₂于B、C．
（1）求證：AB=AC；
（2）若O₁A切⊙O₂于點(diǎn)A，弦AB、AC的弦心距分別為d_l、d₂，求證：d₁+d₂=O₁O₂；
（3）在（2）條件下，若d₁d₂=1，設(shè)⊙O₁、⊙O₂的半徑分別為R、r，求證：R²+r²=

(R2+r2)2

R2r2

．

Answer 1

證明：（1）分別作O₁D⊥AB于點(diǎn)D，O₂E⊥AC于點(diǎn)E．
則AB=2AD，AC=2AE．
∵O₁D∥AM∥O₂E，
∵M(jìn)為O₁O₂的中點(diǎn)，
∴AD=AE，AB=AC．

（2）∵O₁A切⊙O₂于點(diǎn)A，
∴O₁A⊥O₂A，
又∵M(jìn)為O₁O₂的中點(diǎn)，O₁O₂=2AM
在梯形O₁O₂ED中，
∵AM為梯形的中位線，O₁D+O₂E=2AM，
∴O₁D+O₂E=O₁O₂，
即d₁+d₂=O₁O₂．

（3）∵O₁A⊥O₂A，
∴∠AO₁D=∠O₂AE，
∴Rt△O₁AD∽Rt△AO₂E．
∴

AD

O2E

=

O1D

AE

=

O1A

O2A

，
即

AD

d2

=

d1

AE

=

R

r

．
∴AD•AE=d₁•d₂=1．
即由（1）（2）知，AD=AE=1，O₁O₂=d₁+d₂，
∴d₁=

R

r

，d₂=

r

R

，
∴R²+r²=O₁O₂²=（d₁+d₂）²=（

R

r

+

r

R

）²=

(R2+r2)2

R2r2

．